Question

Во сколько раз уменьшится энергия электрического поля конденсатора, если напряжение на его обкладках уменьшить в 4 раза?

Answer 1

Энергия электрического поля заряженного конденсатора определяется как

где - заряд на обкладках конденсатора, а - напряжение.

В то же время, электрическая емкость определяется как
.
Выразим из этой формулы напряжение:
.
Подставим напряжение в формулу для энергии и получим:
.

Из этой формулы видно, что если уменьшить заряд в 2 раза, то энергия увеличится в 4 раза. Проемонстрируем это:

Answer 2

Энергия $W$ электрического поля конденсатора пропорциональна квадрату напряжения $U$, применяемого к конденсатору, и обратно пропорциональна емкости $C$ конденсатора. Математически это может быть выражено как:

$W = \frac{1}{2}CU^2$

Когда напряжение уменьшается в 4 раза, новое напряжение $U'$ будет составлять четверть от изначального напряжения $U$. Таким образом, $U' = \frac{U}{4}$.

Мы хотим найти, во сколько раз уменьшится энергия $W'$ при новом напряжении $U'$ по сравнению с исходной энергией $W$. Для этого нам нужно выразить $W'$ через $U'$ и сравнить его с исходным значением $W$.

Исходная энергия:

$W = \frac{1}{2}CU^2$

Энергия при новом напряжении:

$W' = \frac{1}{2}C\left(\frac{U}{4}\right)^2$

Подставим $\frac{U}{4}$ обратно в выражение для $W'$:

$W' = \frac{1}{2}C\left(\frac{U^2}{16}\right)$

Упростим выражение:

$W' = \frac{1}{32}CU^2$

Теперь мы можем увидеть, что новая энергия $W'$ в 32 раза меньше исходной энергии $W$, когда напряжение уменьшается в 4 раза.