Question

Человек массой 80 кг наступил на плоскую льдину, плавающую в воде, и льдина вместе с человеком начала колебаться с периодом 2 с. Определите толщину льдины, если площадь ее верхней поверхности равна 1 м², а плотность льда 900 кг/м³

Answer 1

Ответ: h≈1,037 м.

Объяснение:

Пусть h и M - искомая толщина и масса льдины, а H - глубина водоёма. Пусть ρ1=900 кг/м³ - плотность льда, а  ρ2=1000 кг/м³ - плотность воды. Пусть S=1 м² - площадь поверхности льдины, а Т=2 с - период колебаний льдины с человеком, масса которого m=80 кг. Возьмём координатную ось ОХ, совместим её начало О с дном водоёма и направим её вертикально вверх. Пусть x0 - координата нижнего края льдины до наступления на неё человеком. Так как  в это время льдина плавает, то по второму закону Ньютона  ρ2*S*(H-x0)*g-ρ1*S*h*g=0, где g≈10 м/с² - ускорение свободного падения. Пусть x- координата нижнего края льдины после наступления на неё человеком. По второму закону Ньютона, ρ2*S*(H-x)*g-(ρ1*S*h+m)*g=(ρ1*s*h+m)*d²x/dt². Оно приводится к виду d²x/dt²+x*ρ2*S*g/(ρ1*S*h+m)=(ρ2*S*x0*g-m*g)/(ρ1*S*h+m). Наконец, обозначая A=ρ2*S*g/(ρ1*S*h+m) и B=(ρ2*S*x0*g-m*g)/(ρ1*S*h+m), запишем это уравнение в виде x"+A*x=B. Это - неоднородное ЛДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами, решение которого имеет вид: x=x1+x2, где x1 - общее решение однородного уравнения x1"+A*x1=0, а x2 - частное решение данного неоднородного уравнения. Для решения уравнения x1"+A*x1=0 составляем характеристическое уравнение (ХУ): k²+A=0. Так как A>0, то это уравнение имеет комплексные корни k1=i*√A и k2=-i*√A, где i=√(-1. Отсюда x1=C1*cos(t*√A)+C2*sin(t*√A)=C*sin(t*√A+α), где C1 и C2 - произвольные постоянные, C=√(C1²+C2²), α=arctg(C1/C2). Частное решение x2=B/A. Тогда x=x1+x2=C*sin(2*π*t/T+α)+B/A. Отсюда следует, что 2*π/T=√A, откуда A=ρ2*S*g/(ρ1*S*h+m)=4*π²/T² и h=ρ2*g*T²/(4*π²*ρ1)-m/(ρ1*S)≈1,037 м.  

Answer 2

Для определения толщины льдины, если человек массой 80 кг наступил на нее и льдина начала колебаться с периодом 2 секунды, мы можем использовать законы механики и принципы колебаний. Мы будем использовать формулу для периода колебаний пружины, так как в данном случае льдина можно рассматривать как пружину.

Период колебаний пружины T определяется следующей формулой:

T = 2π√(m/k),

где: - T - период колебаний (2 секунды в данном случае), - π - число пи (приближенно 3.14159), - m - масса, подвешенная к пружине (масса человека и льдины), - k - жесткость пружины (в данном случае будем использовать жесткость льдины).

Мы знаем, что масса человека m = 80 кг. Теперь нам нужно определить жесткость льдины.

Жесткость пружины k связана с её толщиной (h) и площадью основания (A) следующим образом:

k = (A * ρ * g) / h,

где: - A - площадь верхней поверхности льдины (1 м²), - ρ - плотность льда (900 кг/м³), - g - ускорение свободного падения (приближенно 9.81 м/с²), - h - толщина льдины (которую мы хотим найти).

Теперь мы можем подставить известные значения в уравнение для жесткости k:

k = (1 м² * 900 кг/м³ * 9.81 м/с²) / h,

Теперь мы можем вставить значение жесткости k в формулу для периода колебаний T:

2 секунды = 2π√(80 кг + m_льдина / ((1 м² * 900 кг/м³ * 9.81 м/с²) / h)).

Теперь мы можем решить это уравнение относительно h:

2 секунды = 2π√(80 кг + m_льдина / (900 кг/м³ * 9.81 м/с²) / h).

Давайте перегруппируем и решим уравнение:

2 секунды = 2π√(80 кг * h / (900 кг/м³ * 9.81 м/с²)).

Поделим обе стороны на 2π:

1 секунда = √(80 кг * h / (900 кг/м³ * 9.81 м/с²)).

Возвести обе стороны в квадрат:

1 секунда^2 = 80 кг * h / (900 кг/м³ * 9.81 м/с²).

Теперь мы можем решить уравнение относительно h:

h = (1 секунда^2 * 900 кг/м³ * 9.81 м/с²) / 80 кг.

h = 11.025 метров.

Таким образом, толщина льдины составляет примерно 11.025 метров.