Question

Шар массой m падает в жидкости плотностью ρ с постоянной скоростью v. С какой силой нужно тянуть этот шар, для того чтобы он поднимался в той же жидкости со скоростью 2v? Объем шара равен V. Сопротивление при движении шара в жидкости пропорционально скорости шара.​

Answer 1

Дано:

m

ρ

υ_1 = υ = const

υ_2 = 2*υ = const

V

g

Fт - ?

Решение:

Нужно проанализировать силы, действующие на шар. Шар падает в жидкости под действием силы тяжести mg. Против его движения направлены сила Архимеда Fa и сила сопротивления жидкости Fc, которая пропорциональна скорости, т.е. Fc = k*υ, где k - коэффициент пропорциональности (этой буквой обозначено произведение тех параметров жидкости, которые являются постоянными для определения силы сопротивления движению). Сила Архимеда равна: Fa = ρVg. Составим уравнение по Второму закону Ньютона, учитывая направление сил (вертикальную ось направим вниз) и то, что движение шара является равномерным:

mg + (-Fa) + (-Fc) = 0

mg - ρVg - kυ_1 = 0 - выразим коэффициент пропорциональности, учитывая что υ_1 = υ:

kυ = mg - ρVg

k = (mg - ρVg)/υ

Теперь рассмотрим динамику движения шара вверх. Движение равномерное. Направление сил не поменялось, кроме направления Fc (сила сопротивления всегда направлена против движения). Ещё добавилась сила тяги Fт. Направим вертикальную ось вверх, тогда:

Fт + (-mg) + Fa + (-Fc) = 0

Fт - mg + ρVg - kυ_2 = 0 - выражаем силу тяги:

Fт = mg - ρVg + k*2υ - подставляем вместо k его выражение:

Fт = mg - ρVg + ((mg - ρVg)/υ)*2υ

Fт = mg - ρVg + 2*(mg - ρVg)

Fт = mg - ρVg + 2mg - 2ρVg

Fт = 3mg - 3ρVg

Fт = 3g*(m - ρV)

Answer 2

Для начала, рассмотрим силы, действующие на шар, когда он падает в жидкости:

1. Сила тяжести - Fт = mg, где m - масса шара, g - ускорение свободного падения. 2. Сила Архимеда - Fа = ρVg, где ρ - плотность жидкости, V - объем шара. 3. Сила сопротивления - Fс = kv, где k - коэффициент пропорциональности, v - скорость шара.

Когда шар падает в жидкость со скоростью v, равновесие сил достигается при условии: Fт - Fа - Fс = 0

Подставляя значения сил, получаем: mg - ρVg - kv = 0

Разделим уравнение на g: m - ρV - kv/g = 0

Теперь рассмотрим движение шара при подъеме со скоростью 2v. В этом случае сила сопротивления станет равной: Fс = 2kv

А условие равновесия сил будет выглядеть следующим образом: Fт - Fа - 2kv = 0

Подставляя значения сил и объема шара, получаем: mg - ρVg - 2kv = 0

Разделим уравнение на g: m - ρV - 2kv/g = 0

Мы видим, что уравнения для падения и подъема существенно отличаются только коэффициентом перед силой сопротивления. То есть, для того чтобы шар поднимался в жидкости со скоростью 2v, необходимо приложить силу, равную двойной силе сопротивления при его падении.

Это можно сделать, например, при помощи троса, протянутого наверх. Сила, с которой нужно тянуть шар, равна силе сопротивления при движении шара вниз, умноженной на два: Fтяжка = 2kv

Таким образом, чтобы шар поднимался в жидкости со скоростью 2v, нужно тянуть его силой, равной двойной силе сопротивления при его падении.