Question

Тонкий проводник с током I1 расположен на расстоянии а от металлической ленты с током I2. Оба проводника лежат в одной плоскости, ширина ленты равна b. Во сколько раз уменьшится сила взаимодействия между проводниками на единицу их длины, если рас- стояние между проводниками станет равным 2а?

Answer 1

не знаю правильно ли это мне прислала подруга

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа, который описывает магнитное поле от элемента тока. Сила взаимодействия двух проводников с током определяется через магнитные поля, создаваемые этими проводниками.

Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока \(dI\) на расстоянии \(r\) от точки наблюдения:

\[dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \cdot dI \times \hat{r}}{r^2},\]

где: - \(dB\) - элементарный вектор магнитной индукции, - \(I\) - ток, - \(dI\) - элемент тока, - \(r\) - расстояние от элемента тока до точки наблюдения, - \(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 \approx 4\pi \times 10^{-7} \ \text{Т} \cdot \text{м}/\text{А}\)).

Сила взаимодействия между элементами тока в проводниках равна произведению тока на элементарный вектор магнитной индукции, умноженный на длину проводника:

\[dF = I_1 \cdot dB \cdot b \cdot dI_1.\]

Суммирование по всем элементам тока в обоих проводниках дает полную силу взаимодействия между проводниками:

\[F = \int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} dF.\]

Если расстояние между проводниками увеличивается в два раза (\(2a\)), то новое магнитное поле будет:

\[dB' = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \cdot dI \times \hat{r'}}{r'^2},\]

где \(r' = 2a\).

Новая сила взаимодействия будет:

\[F' = \int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} dF',\]

где \(dF' = I_1 \cdot dB' \cdot b \cdot dI_1\).

Теперь найдем отношение новой силы к исходной:

\[\frac{F'}{F} = \frac{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} dF'}{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} dF}.\]

Так как в обоих случаях интегралы берутся по всей длине проводников, то множители \(b\) и \(dI_1\) сокращаются:

\[\frac{F'}{F} = \frac{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} I_1 \cdot dB' \cdot dI_1}{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} I_1 \cdot dB \cdot dI_1}.\]

Теперь подставим выражение для \(dB\) и \(dB'\) и упростим:

\[\frac{F'}{F} = \frac{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{I_1 \cdot dI_1 \times \hat{r'}}{r'^2}}{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{I_1 \cdot dI_1 \times \hat{r}}{r^2}}.\]

Теперь заметим, что интегралы по \(dI_1\) и \(dI_2\) одинаковы, так как они берутся по всей длине проводников, и их можно вынести из-под знака интеграла:

\[\frac{F'}{F} = \frac{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{dI_1 \times \hat{r'}}{r'^2}}{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{dI_1 \times \hat{r}}{r^2}}.\]

Теперь рассмотрим векторы \(\hat{r}\) и \(\hat{r'}\). Поскольку оба проводника лежат в одной плоскости, векторы \(\hat{r}\) и \(\hat{r'}\) будут коллинеарными. Таким образом, можно записать:

\[\frac{F'}{F} = \frac{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{dI_1}{r'^2}}{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{dI_1}{r^2}}.\]

Теперь заметим, что \(r' = 2a\) и, следовательно, \(r = a\). Подставим это:

\[\frac{F'}{F} = \frac{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{dI_1}{(2a)^2}}{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{dI_1}{a^2}}.\]

Упростим выражение:

\[\frac{F'}{F} = \frac{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{dI_1}{4a^2}}{\int_{\text{пров.1}} \int_{\text{пров.2}} \frac{dI_1}{a^2}}.\]