Question

Частица совершают гармоническое колебание по закону х(t)=Asinω0t . Через какую долю периода скорость частицы будет равна половине ее максимальной скорости?

Answer 1

Привет!)

V=Vmax/2

Уравнение колебаний: х(t)=Asinω0t .

Скорость - первая производная от x(t):

V(t)=x'(t)=Aωsinω0t

Зная, что ω=2π/T, получаем:

V(t)=A*2π/T*cos(2π/T*t)

Скорость максимальна, когда максимален cos(2π/T*t)

cos(2π/T*t)=1

Тогда Vmax=A*2π/T

A*2π/T*cos(2π/T*t)=(A*2π/T)/2

cos(2π/T*t)=1/2

2π/T*t=π/3

значит t=(π/3)*(T/2π)=T/6

Ответ: через T/6

Answer 2

Уравнение гармонических колебаний дано в виде \(x(t) = A \sin(\omega_0 t)\), где: - \(x(t)\) - смещение частицы от положения равновесия в момент времени \(t\), - \(A\) - амплитуда колебаний, - \(\omega_0\) - угловая частота.

Скорость \(v(t)\) частицы в гармонических колебаниях определяется производной по времени от смещения \(x(t)\): \[v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega_0 \cos(\omega_0 t)\]

Максимальная скорость достигается в момент времени, когда \(\cos(\omega_0 t) = 1\). Таким образом, максимальная скорость \(v_{\text{max}}\) равна \(A \omega_0\).

Чтобы найти момент времени, когда скорость частицы равна половине максимальной скорости, решим уравнение: \[ \frac{1}{2} v_{\text{max}} = \frac{1}{2} A \omega_0 = A \omega_0 \cos(\omega_0 t)\]

Отсюда получаем: \[ \cos(\omega_0 t) = \frac{1}{2} \]

Момент времени \(t\), когда \(\cos(\omega_0 t) = \frac{1}{2}\), это, например, \(\frac{\pi}{3}\) (или \(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \ldots\), так как \(\cos\) имеет период \(2\pi\)).

Теперь, чтобы найти долю периода, через которую прошла частица к моменту времени \(t = \frac{\pi}{3}\), нужно поделить это время на период \(T\), который связан с угловой частотой следующим образом: \(T = \frac{2\pi}{\omega_0}\).

\[ \text{Доля периода} = \frac{t}{T} = \frac{\frac{\pi}{3}}{\frac{2\pi}{\omega_0}} = \frac{\omega_0}{6} \]

Таким образом, через \(\frac{\omega_0}{6}\) периода скорость частицы будет равна половине её максимальной скорости.