Question

Помогите решить задачу В прямом цилиндрическом сосуде длиной 40см, закрытом герметически, находится водород при температуре 27°C и давлении 10 МПа сосуд начинает двигаться равноускоренно с ускорением 5 м/с² направлении, перпендикулярном основанию цилиндра. Определите разность плотности молекул водорода у передней и задней стенок цилиндра после достаточно длительного движения с постоянным ускорением. Силой тяжести, действующей на молекулы водорода, пренебречь.

Answer 1

Дано:

L = 40 см = 0,4 м

Т = 27 °С = 300 К = const

р = 10 МПа = 10⁷ Па

а = 5 м/с²

М = 2*10^-3 кг/моль

R = 8,31 Дж/(моль*К)

ρ1 - ρ2 = ?

Решение:

Газ рассматриваем как единое тело массой m, которое движется с ускорением а. Температуру по всему объёму цилиндра считаем постоянной (теплопотерями через стенки сосуда пренебрегаем). Направим ось икс вправо, движение цилиндра положим направленным по оси. В силу инертности молекул большая часть газа будет давить на левую стенку. Остальная часть будет давить на правую (давление на правую стенку обусловлено только тепловым движением частиц). На обе стенки газ действует с определёнными силами. По Третьему закону Ньютона стенки действуют на газ с теми же силами. Сила со стороны левой стенки будет больше, чем сила со стороны правой. Составим уравнение по Второму закону Ньютона:

F1 + (-F2) = ma

F1 - F2 = ma

Т.к. p = F/S, то F = p*S

S = const =>

p1*S - p2*S = ma

S*(p1 - p2) = ma

Представим давление из уравнения состояния газа (Менделеева-Клапейрона) через плотность:

pV = (m/M)*RT

Т.к. m = ρV, то:

pV = (ρV/M)*RT | : V

p = ρ*(RT/M) =>

S*(ρ1*(RT/M) - ρ2*(RT/M)) = ma

S*(RT/M)*(ρ1 - ρ2) = ma

Выразим массу из уравнения состояния:

pV = m*(RT/M) => m = pV/(RT/M) = pVM/(RT)

Т.к. V = S*L, то

m = pSLM/(RT), значит:

S*(RT/M)*(ρ1 - ρ2) = (pSLM/(RT))*a | : S

(RT/M)*(ρ1 - ρ2) = pLMa/(RT)

ρ1 - ρ2 = [pLMa/(RT)] / (RT/M) = pLM²a/(R²T²) = 10⁷*0,4*(2*10^-3)²*5/(8,31²*300²) = 0,000012871... = 0,000013 кг/м³ = 13 мг/м³

Ответ: примерно 13 мг/м³.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте воспользуемся идеальным газом и законом Бойля.

Закон Бойля для идеального газа:

$P_1V_1 = P_2V_2$

где $P$ - давление, $V$ - объем.

Объем газа можно выразить через плотность газа и площадь основания цилиндра:

$V = S \cdot h$

где $S$ - площадь основания цилиндра, $h$ - высота цилиндра.

Также у нас есть уравнение равномерного движения:

$s = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$

где $s$ - перемещение, $s_0$ - начальное положение, $v_0$ - начальная скорость, $a$ - ускорение, $t$ - время.

Теперь рассмотрим движение газа внутри цилиндра. Газ начинает двигаться с ускорением вдоль оси цилиндра. Это означает, что передняя стенка цилиндра будет сжимать газ, а задняя стенка будет расширять его. Поскольку газ идеальный, объем газа можно рассмотреть как $V = S \cdot h$, где $S$ - площадь основания, $h$ - высота цилиндра.

Сначала определим объем газа до начала движения. Пусть $V_1$ - объем газа перед началом движения, $P_1$ - давление, $T_1$ - температура.

$V_1 = S \cdot h$ $P_1V_1 = nRT_1$

где $n$ - количество молекул газа, $R$ - универсальная газовая постоянная.

После начала движения цилиндра, воздействие ускорения будет приводить к изменению объема газа. Давление впереди будет больше, чем сзади.

$V_2 = S \cdot (h - \Delta h)$ $P_2V_2 = nRT_2$

где $\Delta h$ - изменение высоты цилиндра.

Сначала найдем начальный объем газа $V_1$:

$P_1S \cdot h = nRT_1$

Теперь найдем объем газа после начала движения $V_2$:

$P_2S \cdot (h - \Delta h) = nRT_2$

Так как мы предполагаем, что цилиндр движется вдоль оси, перпендикулярной основанию, у нас есть уравнение равномерного движения:

$h = \frac{1}{2}a t^2$

Теперь можно объединить все уравнения и решить задачу. Определите разность плотности молекул водорода у передней и задней стенок цилиндра после достаточно длительного движения с постоянным ускорением.