Question

40 баллов! На какую максимальную высоту можно заполнить в поезде цилиндрическую чашку радиуса r = 7 см и высотой H = 10 см, чтобы при торможении с ускорением a = 5 м/c2 вода не выплеснулась из неё? Ускорение свободного падения g=10 м/с

Answer 1

Дано:

r = 7 см

H = 10 см

а = 5 м/с²

g = 10 м/с²

h_max - ?

Решение:

При торможении поезда с ускорением поверхность воды в чашке изменит своё положение - поверхность окажется под углом к горизонту. И будет находиться под одним и тем же углом всё время, пока поезд тормозит с одним и тем же ускорением.

Получается, что на каждую точку поверхности будет оказываться одинаковое давление. Ну а если так, то на каждую частицу воды на поверхности будет действовать одинаковая сила R этого давления и направлена она будет нормально к поверхности. Эта сила раскладывается на вертикальную составляющую силу тяжести частицы mg и горизонтальную составляющую силу инерции Fi. Сила инерции по Третьему закону Ньютона равна по модулю силе, которая передаётся частице от чашки через другие частицы. Чашка же получает через поверхность, допустим, стола, на котором стоит, то же ускорение, что и сам поезд - ведь стол является участником цепочки тел, передающих одно и то же ускорение другим телам. Например: поезд -> вагон -> пол вагона -> стол -> чашка -> частица ->...-> рассматриваемае частица.

|Fi| = |-m*a| = m*a

R² = mg² + (-ma²)

Теперь обозначим крайнюю верхнюю точку чашки как максимальную точку, до которой может подняться вода. Между горизонтом и поверхностью лежит угол α, который равен углу между силой R и силой mg (по взаимно перпендикулярным сторонам). На этот угол поворачивается поверхность воды относительно точки О. Выходит, что один край поверхности воды в чашке поднимается на высоту Δh над прежним положением, а другой - опускается на Δh. Получаются два равных треугольника с центром симметрии в точке О.

Чтобы выразить высоту h_max, приравняем друг к другу два разных выражения тангенса угла α:

tgα = |Fi|/mg = ma/mg = a/g

tgα = АВ/ОВ = СD/OC = Δh/r = (H - h_max)/r

(H - h_max)/r = а/g - выражаем h_max:

H - h_max = (а/g)*r

h_max = H - (а/g)*r = 10 - (5/10)*7 = 10 - 0,5*7 = 10 - 3,5 = 6,5 см

Ответ: можно заполнить на 6,5 см.

Answer 2

Для того чтобы вода не выплеснулась из чаши при торможении с ускорением \( a = 5 \, \text{м/c}^2 \), нужно убедиться, что центр ускорения (точка, относительно которой происходит ускорение) не превышает половину высоты чаши.

Центр ускорения цилиндрической чаши находится на расстоянии \( \frac{H}{2} \) от дна.

Формула для центра ускорения цилиндрической чаши: \[ \text{Центр ускорения} = \frac{H}{2} - \frac{r}{2} \]

Так как ускорение \( a \) и свободное ускорение \( g \) связаны следующим образом: \[ a = g \cdot \frac{\text{Центр ускорения}}{r} \]

Мы можем использовать эту формулу, чтобы найти максимальную высоту \( H \), при которой вода не выплеснется при данном ускорении.

Подставим известные значения и найдем \( H \):

\[ a = g \cdot \frac{\frac{H}{2} - \frac{r}{2}}{r} \]

\[ 5 \, \text{м/c}^2 = 10 \, \text{м/c}^2 \cdot \frac{\frac{H}{2} - \frac{7 \, \text{см}}{2}}{7 \, \text{см}} \]

Решим это уравнение:

\[ \frac{\frac{H}{2} - \frac{7 \, \text{см}}{2}}{7 \, \text{см}} = \frac{5 \, \text{м/c}^2}{10 \, \text{м/c}^2} \]

\[ \frac{\frac{H}{2} - \frac{7 \, \text{см}}{2}}{7 \, \text{см}} = \frac{1}{2} \]

\[ \frac{H}{2} - \frac{7 \, \text{см}}{2} = 7 \, \text{см} \]

\[ \frac{H}{2} = 14 \, \text{см} \]

\[ H = 28 \, \text{см} \]

Таким образом, максимальная высота чаши \( H \), чтобы вода не выплеснулась при ускорении \( a = 5 \, \text{м/c}^2 \), составляет \( 28 \, \text{см} \).