Question

Автомобиль движется прямолинейно по горизонтальной дороге. Известно, что равнодействующая сила растёт по величине прямо пропорционально скорости. Мимо светофора автомобиль проехал со скоростью V_{0} = 5 м/с. На расстоянии S_{1} = 45 м от светофора скорость автомобиля V_{1} = 20 м/с. На каком расстоянии S_{2} от светофора скорость автомобиля будет равна V_{2} = 30 м/с?

Answer 1

Ответ:

Фото

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся вторым законом Ньютона, который гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. В данном случае у нас нет информации о массе автомобиля, но мы можем использовать второй закон Ньютона в виде уравнения:

\[ F = m \cdot a \]

Также мы знаем, что равнодействующая сила пропорциональна скорости автомобиля:

\[ F = k \cdot v \]

где \( F \) - равнодействующая сила, \( k \) - коэффициент пропорциональности, \( v \) - скорость автомобиля.

Следовательно, можно записать уравнение:

\[ m \cdot a = k \cdot v \]

Ускорение \( a \) можно выразить как производную скорости по времени:

\[ a = \frac{{dv}}{{dt}} \]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее массу автомобиля, его ускорение и скорость:

\[ m \cdot \frac{{dv}}{{dt}} = k \cdot v \]

Для решения этого дифференциального уравнения нужно ввести начальные условия. В момент времени \( t = 0 \) автомобиль двигается со скоростью \( V_0 = 5 \, \text{м/с} \). Мы также знаем, что на расстоянии \( S_1 = 45 \, \text{м} \) от светофора его скорость \( V_1 = 20 \, \text{м/с} \).

Теперь проинтегрируем уравнение для получения зависимости скорости от времени и найдем выражение для \( S \), расстояния, пройденного автомобилем, используя соотношение \( S = \int v \, dt \).

\[ m \cdot \int \frac{{dv}}{{v}} = k \cdot \int dt \]

Интегрируя, получим:

\[ m \cdot \ln|v| = k \cdot t + C \]

где \( C \) - константа интегрирования.

Теперь применим начальные условия. При \( t = 0 \) скорость \( v = V_0 \), следовательно, \( C = m \cdot \ln|V_0| \).

Теперь у нас есть уравнение:

\[ m \cdot \ln|v| = k \cdot t + m \cdot \ln|V_0| \]

Продолжим решение, используя второй набор начальных условий. При \( t = t_1 \) скорость \( v = V_1 \). Таким образом,

\[ m \cdot \ln|V_1| = k \cdot t_1 + m \cdot \ln|V_0| \]

Теперь найдем \( k \) и \( t_1 \).

\[ k = \frac{{m \cdot \ln|V_1| - m \cdot \ln|V_0|}}{{t_1}} \]

Теперь мы можем использовать это значение \( k \) для определения времени \( t_2 \), когда скорость автомобиля станет \( V_2 = 30 \, \text{м/с} \).

\[ m \cdot \ln|V_2| = k \cdot t_2 + m \cdot \ln|V_0| \]

Теперь у нас есть все необходимые значения для решения этой задачи.