Question

Правила побудови проекцій вектора ?

Answer 1

Ответ: Визначення 1. На площині паралельною проекцією точки А на вісь l називається точка - точка перетину осі l з прямою, проведеною через точку А паралельно вектору, що задає напрямок проектування.

Визначення 2. Паралельною проекцією вектора на вісь l (на вектор) називається координата вектора щодо базису осі l, де точки і - паралельні проекції відповідно до точок А і В на вісь l (рис. 1).

Згідно з визначенням маємо

Визначення 3. якщо та базис осі l декартів, тобто проекція вектора на вісь l називається ортогональною (рис. 2).

У просторі визначення проекції 2 вектора на вісь залишається в силі, тільки напрям проектування задається двома неколлінеарними векторами (рис. 3).

З визначення проекції вектора на вісь випливає, кожна координата вектора є проекція цього вектора на вісь, що визначається відповідним базисним вектором. При цьому напрям проектування задається двома іншими базовими векторами, якщо проектування ведеться (розглядається) у просторі, або іншим базовим вектором, якщо проектування розглядається на площині (рис. 4).

Теорема 1. Ортогональна проекція вектора вісь l дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між позитивним напрямом осі l і, тобто.

З іншого боку

З знаходимо

Підставивши АС у рівність (2), отримаємо

Оскільки числа xі одного знака в обох випадках ((рис. 5, а) ; (рис. 5, б) , то з рівності (4) випливає

Зауваження. Надалі ми розглядатимемо лише ортогональну проекцію вектора на вісь і тому слово «орт» (ортогональна) в позначенні опускатимемо.

Наведемо ряд формул, які використовуються в подальшому під час вирішення завдань.

а)Проекція вектора на вісь.

Якщо, то ортогональна проекція на вектор згідно з формулою (5) має вигляд

в) Відстань від точки до площини.

Нехай б - дана площина з нормальним вектором, M - дана точка,

d – відстань від точки М до площини б (рис. 6).

Якщо N-довільна точка площини б, а і - проекції точок Mі Nна вісь, то

   г) Відстань між прямими, що схрещуються.

Нехай а і b-дані прямі, що схрещуються, - перпендикулярний їм вектор, А і В - довільні точки прямих а і b відповідно (рис. 7), і - проекції точок Aі Bна, тоді

д) Відстань від точки до прямої.

Нехай l- дана пряма з напрямним вектором, M - дана точка,

N – її проекція на пряму l, Тоді - відстань (рис. 8).

Якщо А - довільна точка прямої l, то в прямокутному трикутнику MNAгіпотенуза MAі катет можуть бути знайдені. Значить,

е) Кут між прямою та площиною.

Объяснение:

Answer 2

Проекція вектора на інший вектор - це процес визначення нового вектора, який є проекцією початкового вектора на напрямок іншого вектора. Цей процес може бути використаний, наприклад, для визначення складових вектора вздовж певного напрямку.

Правила побудови проекції вектора на інший вектор можуть бути описані наступним чином:

1. Знайдіть скалярний добуток вектора, який потрібно проекціювати, на вектор, на який потрібно проекціювати. Це можна зробити за допомогою формули: proj_v(u) = (u • v) / (v • v) * v, де u - вектор, який потрібно проекціювати, v - вектор, на який потрібно проекціювати.

2. Знайдіть довжину вектора, на який потрібно проекціювати, за допомогою формули: |v| = √(v • v).

3. Поділіть скалярний добуток вектора, який потрібно проекціювати, на вектор, на який потрібно проекціювати, на довжину вектора, на який потрібно проекціювати.

4. Отриманий результат буде проекцією вектора, який потрібно проекціювати, на вектор, на який потрібно проекціювати.

Ці правила дозволяють побудувати проекцію вектора на інший вектор і визначити його напрямок та довжину.