Question

Металлический шар, будучи полностью погружённым в воду, весит 39 н, а в спирт 40 н найдите объём шара. Плотность воды 1000кг\\м^3 Плотность спирта 800кг\\м^3

Answer 1

Выталкивающая сила, действующая на шар в воде:    Fa₁ = ρ₁Vg
выталкивающая сила, действующая на шар в спирте: Fa₂ = ρ₂Vg

Если Р - вес шара в воздухе, то:
Вес шара в воде: P₁ = P-Fa₁ = 39 Н
Вес шара в спирте: P₂ = P-Fa₂ = 40 Н

Тогда:  (P-P₁)-(P-P₂) = ρ₁Vg -ρ₂Vg
               -P₁+P₂ = Vg(ρ₁-ρ₂)
                P₂-P₁ =  Vg(ρ₁-ρ₂)
                V = (P₂-P₁)/(g(ρ₁-ρ₂))
                V = 1/2000
                V = 5*10⁻⁴ (м³) = 0,5 (дм³)

Проверим: Вес воды в объеме шара: P₀₁ = Fa₁ = ρ₁gV = 5 (H)
                  Вес спирта в объеме шара: P₀₂ = Fa₂ = ρ₂gV = 4 (H)
                  Fa₁-Fa₂ = P₂-P₁
                    5-4 = 40-39
                        1 = 1

Ответ: Объем шара 0,5 дм³

Answer 2

Используем закон Архимеда:

$F_{\text{Арх}}=\rho gV$

где $F_{\text{Арх}}$ - сила Архимеда, $\rho$ - плотность жидкости, $g$ - ускорение свободного падения, $V$ - объём вытесненной жидкости.

В случае с шаром, полностью погружённым в жидкость, сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости:

$F_{\text{Арх}}=\rho_{\text{ж}} gV_{\text{выт}}$

где $\rho_{\text{ж}}$ - плотность жидкости, $V_{\text{выт}}$ - объём вытесненной жидкости.

Таким образом, для шара, погружённого в воду, имеем:

$F_{\text{Арх}}=\rho_{\text{воды}} gV_{\text{выт}}=39\,\text{Н}$

Для шара, погружённого в спирт, имеем:

$F_{\text{Арх}}=\rho_{\text{спирта}} gV_{\text{выт}}=40\,\text{Н}$

Разделим эти два уравнения друг на друга, чтобы избавиться от неизвестного $V_{\text{выт}}$:

$$\frac{\rho_{\text{воды}}}{\rho_{\text{спирта}}}=\frac{39}{40}$$

$$\frac{1000\,\text{кг/м}^3}{800\,\text{кг/м}^3}=\frac{V_{\text{выт water}}}{V_{\text{выт alc}}}$$

Отсюда найдём отношение объёмов вытесненных жидкостей:

$$\frac{V_{\text{выт water}}}{V_{\text{выт alc}}}=\frac{5}{4}$$

Так как шар имеет один и тот же объём независимо от того, в какой жидкости он погружён, то

$$\frac{4}{3}\pi r^3=V_{\text{шара}}$$

Откуда

$$r=\sqrt[3]{\frac{3V_{\text{шара}}}{4\pi}}$$

Объём шара включает в себя объём материала шара и объём вытесненной жидкости:

$$V_{\text{шара}}=V_{\text{материала}}+V_{\text{выт}}$$

$$V_{\text{шара}}=V_{\text{материала}}+\frac{4}{3}\pi r^3\left(\frac{V_{\text{выт water}}}{V_{\text{выт alc}}}\right)$$

Подставляем найденное значение $r$ и решаем уравнение относительно $V_{\text{шара}}$:

$$V_{\text{шара}}=\frac{4}{3}\pi\left(\sqrt[3]{\frac{3V_{\text{шара}}}{4\pi}}\right)^3+\frac{4}{3}\pi\left(\sqrt[3]{\frac{3V_{\text{шара}}}{4\pi}}\right)^3\cdot\frac{5}{4}$$

$$V_{\text{шара}}=\frac{39}{40\cdot 1000\,\text{кг/м}^3 - 1.25\cdot800\,\text{кг/м}^3}\approx 0.0017\,\text{м}^3$$

Ответ: объём шара равен 0.0017