Question

Период полураспада некоторого изотопа равен 1 часу Какая доля ядер этого изотопа остается через 2 часа? Через какой промежуток времени число ядер этого изотопа уменьшится в 1000 раз?

Answer 1

Если в начальный момент времени количество ядер элемента равно N0, то через произвольное время t количество ядер будет описываться следующим уравнением(Т - период полураспада):
$N(t)=N_0*2^{-\frac{t}{T}}.$
Подставляем известные величины и решаем уравнения:
$1) t=2;~T=1\\ N(t)=N_0*2^{-\frac21}=\frac{N_0}{4}.\\ \\ 2)N(t)=\frac1{1000}*N_0;\\ \frac1{1000}*N_0=N_0*2^{-\frac t T};\\ 1000=2^\frac t T;\\ t=T*\log_2 1000 \approx 9.966$
Ответ: 1) четверть, 2) ≈9.966 часов или 9 часов 58 минут.

Answer 2

Пусть изначально было N ядер изотопа.

По определению периода полураспада, через один период число ядер уменьшается в два раза, т.е. через один час останется N/2 ядер. Через два периода число ядер уменьшится в четыре раза, т.е. через два часа останется N/4 ядер.

Доля ядер, оставшихся через два часа, будет равна количеству ядер, оставшихся после двух периодов полураспада, деленному на изначальное количество ядер:

N/4 / N = 1/4

То есть, останется 1/4 или 25% от изначального количества ядер.

Чтобы узнать, через какой промежуток времени число ядер уменьшится в 1000 раз, нужно найти, сколько периодов полураспада нужно пройти для того, чтобы количество ядер уменьшилось в 1000 раз:

N / 2^n = 1/1000

где n - количество периодов полураспада.

Выразим n:

2^n = N / (1/1000) = 1000N

n*log2(2) = log2(1000N)

n = log2(1000N)

n = log2(1000) + log2(N)

n = 10 + log2(N)

Таким образом, количество периодов полураспада, необходимых для уменьшения количества ядер в 1000 раз, равно 10 + log2(N).