Question

Какой диаметр должен иметь медный стержень длиной 5 м, чтобы под действием силы 480 Н он удлинился не более чем на 1 мм. Предел прочности стержня меди на растяжении равен 0,22 ГПа. Модуль Юнга 130 ГПа.

Answer 1

Из уравнения деформации получаем:
F = N*L / E*ΔL.
Чтобы стержень не разорвался вместо  модуля Юнга подставляем 
предел прочности:F = 480*5 / (2,2*10^8*0,001) =  0,010909 м²  = 109,09 см².

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Гука, который утверждает, что удлинение проволоки (или стержня) пропорционально приложенной силе, длине и обратно пропорционально ее поперечному сечению и модулю Юнга. Мы можем выразить диаметр стержня, используя формулу для площади поперечного сечения круга:

$A=\frac{\pi d^2}{4}$

где A - площадь поперечного сечения, а d - диаметр стержня.

Мы можем также выразить напряжение растяжения в стержне, используя формулу:

$\sigma = \frac{F}{A}$

где F - приложенная сила, а $\sigma$ - напряжение растяжения.

Также, мы можем выразить удлинение стержня через модуль Юнга, площадь поперечного сечения и приложенную силу, используя формулу:

$\Delta L = \frac{FL}{AE}$

где $\Delta L$ - удлинение стержня, L - длина стержня, а E - модуль Юнга.

Теперь мы можем составить систему уравнений:

$\sigma = \frac{F}{A}$

$\Delta L = \frac{FL}{AE}$

Используя значения из условия задачи, мы можем переписать систему уравнений следующим образом:

$\frac{F}{A} \leq \sigma_{max}$

$\Delta L \leq 1\text{ мм}$

где $\sigma_{max}$ - предел прочности меди на растяжении.

Мы можем выразить диаметр стержня, объединив формулы для A и $\Delta L$, и заменив A на $\pi d^2 / 4$:

$\Delta L = \frac{FL}{AE} = \frac{F}{\frac{\pi d^2}{4} \cdot E} \cdot L$

$d = \sqrt{\frac{4FL}{\pi E \Delta L}}$

Подставляя числовые значения:

$d = \sqrt{\frac{4 \cdot 480\text{ Н} \cdot 5\text{ м}}{\pi \cdot 130\text{ ГПа} \cdot 0.001\text{ м}}} \approx 0.0095\text{ м}$

Таким образом, чтобы под действием силы 480 Н стержень удлинился не более чем на 1 мм, диаметр медного стержня должен быть около 9,5 мм.