Question

небольшой груз массой 100г подвешен на пружине и совершает гармонические колебания по закону косинуса с начальной фазой П/4. Известны наибольшая скорость груза 0,1 м/с, и его наибольшее отклонение от положения равновесия Xmax = 1,5см. Найти жесткость пружины,написать уравнение колебаний

Answer 1

M=0.1 кг    φo=π/4    xm=0.015 м     vm=0.1 м/с
===
vm=ω*xm
ω=vm/xm=0.1/0.015≈6.7 рад/с
ω²=k/m
k=ω²*m=6.7²*0.1≈4.5 Н/м
x(t)=0.015*cos(6.7*t+π/4)
====================

Answer 2

Для гармонических колебаний сила упругости, действующая на груз, пропорциональна отклонению груза от положения равновесия и направлена к нему. Можно записать уравнение колебаний:

mx'' + kx = 0

где m - масса груза, k - жесткость пружины, x - отклонение груза от положения равновесия, x'' - ускорение груза.

Решение этого уравнения имеет вид:

x = A cos(ωt + φ)

где A - амплитуда колебаний (равна максимальному отклонению от положения равновесия), ω - круговая частота, φ - начальная фаза.

Для нахождения жесткости пружины k необходимо воспользоваться известными данными о колебаниях. Максимальная скорость груза достигается в положении равновесия, где сила упругости равна нулю. Максимальная скорость достигается при прохождении через положение равновесия, поэтому в этот момент кинетическая энергия груза максимальна и равна потенциальной энергии наибольшего отклонения Xmax:

mv²/2 = kXmax²/2

Из этого уравнения можно выразить жесткость пружины:

k = m(v²/Xmax²)

Подставляя известные значения, получаем:

k = 100г * (0,1 м/с)² / (0,015 м)² = 666,67 Н/м

Таким образом, жесткость пружины составляет 666,67 Н/м. Уравнение колебаний имеет вид:

x = 0,015 м * cos(ωt + П/4)

где ω = sqrt(k/m) = sqrt(666,67 Н/м / 0,1 кг) = 258,20 рад/с.