Question

Однородный диск радиусом R подвешен за край. Чему равна частота его малых колебаний?

Answer 1

Момент инерции диска равен (относительно центра)

$J_0 = mR^2/2$

Относительно края по теореме Гюйгенса Штейнера

$J_1 =J_0 + mR^2 = 3mR^2/2$

Представим, что диск отклонен, на угол фи, тогда запишем второй закон Ньютона (момент инерции на угловое ускорение равен моменту силы тяжести)

$J_1 \varphi'' = -mgR\sin\varphi \approx - mgR\varphi\\\\ \varphi''+\frac{mgR}{J_1}\varphi =0\\\\ \varphi''+\frac{2g}{3R}\varphi=0$

Мы получили-таки уравнение колебаний, а значит частота равна

$\omega = \sqrt{\frac{2g}{3R}}$

Answer 2

Частота малых колебаний однородного диска, подвешенного за край, можно вычислить с использованием формулы для математического маятника. Для такого диска момент инерции относительно оси вращения (края диска) равен:

I = (1/2) * m * R^2,

где m - масса диска, а R - его радиус.

Формула для частоты колебаний математического маятника имеет вид:

f = (1/2π) * sqrt(g / L),

где g - ускорение свободного падения, L - расстояние от точки подвеса до центра масс диска.

Для диска, подвешенного за край, L равно R. Подставляя в формулу значения, получаем:

f = (1/2π) * sqrt(g / R).

Таким образом, частота малых колебаний диска будет равна (1/2π) * sqrt(g / R).