Question

На горизонтальной пружине укреплён брусок массой M, лежащий на гладком столе. В этот брусок попадает и застревает в нём пуля, массой m, летящая со скоростью v по направлению оси пружины. Максимальное сжатие пружины в результате движения бруска с пулей равно Δl. Чему равна жесткость пружины? Трением пренебречь.

Answer 1

Трением пренебрегать нельзя, это не по христиански 

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Первым делом рассмотрим закон сохранения импульса в горизонтальном направлении.

Импульс пули до столкновения равен: p1 = m * v

После столкновения пуля останавливается, поэтому импульс пули после столкновения равен нулю: p2 = 0

Импульс бруска до столкновения равен нулю, так как он покоится: p3 = 0

Импульс бруска после столкновения равен: p4 = (M + m) * V

Здесь V - скорость бруска и пули после столкновения.

Из закона сохранения импульса получаем: p1 + p3 = p2 + p4

m * v + 0 = 0 + (M + m) * V

V = (m * v) / (M + m)

Теперь рассмотрим закон сохранения энергии. Энергия системы до столкновения состоит только из кинетической энергии пули: E1 = (1/2) * m * v^2

После столкновения энергия системы будет содержать кинетическую энергию бруска и пули, а также потенциальную энергию упругой деформации пружины: E2 = (1/2) * (M + m) * V^2 + (1/2) * k * Δl^2

Здесь k - жесткость пружины.

Из закона сохранения энергии получаем: E1 = E2

(1/2) * m * v^2 = (1/2) * (M + m) * V^2 + (1/2) * k * Δl^2

Подставляем выражение для V, полученное из закона сохранения импульса: (1/2) * m * v^2 = (1/2) * (M + m) * [(m * v) / (M + m)]^2 + (1/2) * k * Δl^2

Упрощаем: m * v^2 = (m^2 * v^2) / (M + m) + k * Δl^2

Умножаем обе части уравнения на (M + m): m * v^2 * (M + m) = m^2 * v^2 + k * (M + m) * Δl^2

Раскрываем скобки: m * v^2 * M + m^2 * v^2 = m^2 * v^2 + k * M * Δl^2 + k * m * Δl^2

Сокращаем m^2 * v^2: v^