Question

ДАЮ МНОГО БАЛЛОВ Тело массы m, после свободного падения с некоторой высоты попадает в водоём глубиной L, упруго ударяется о дно и останавливается на половине глубины. С какой высоты H падало тело? Средняя плотность тела равна плотности воды, изменение скорости при ударе о воду и силой сопротивления движению в воздухе пренебречь. Силу сопротивления движению в воде принять в виде F = -k*V, коэффициент k считать известным. (V-скорость) Желательно с подробным решением.

Answer 1

Мы будем считать тело материальной точкой, чтобы не связываться со сложностями, когда тело проникает в воду и погружено частично (все равно это будет малая поправка к решению)

Итак, сначала очевидное, из закона сохранения энергии мы найдем скорость тела на подлете к воде

$mv^2/2 = mgH\\ v = \sqrt{2gH}$

При движении в воде сила Архимеда уравновешивается силой тяжести (это следует из условия, причем дважды следует). Поэтому в воде закон Ньютона (что вверх, что вниз) можно записать в следующей форме

$m\frac{\Delta v}{\Delta t} = -kv = -k\frac{\Delta S}{\Delta t}\\ m\Delta v = -k\Delta S$

Это для модуля скорости (он все время уменьшается, а при упругом ударе мгновенно меняется направление, но не модуль)

Итак, мы видим, что просуммировав все дельты, мы получим слева полное изменение скорости, а справа - полное расстояние, пройденное телом в воде (3L/2). Отсюда

$\displaystyle m(0-v) = -k\frac{3L}{2}\\ v = \frac{3kL}{2m}\\ \sqrt{2gH} = \frac{3kL}{2m}\\\\ H = \frac{9k^2L^2}{8gm^2}$

P.S. (Для старших девочек и мальчиков) НЕ НАДО РЕШАТЬ ДИФУР В ВОДЕ, И БЕЗ НЕГО ВСЕ ЧТО НУЖНО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛЕГКО ДОСТАТЬ!!!

Answer 2

Уравнение движения тела в воде:

$a = -\frac{k}{m}v \ ;$

Знак минус отражает противоположность силы сопротивления в воде (и соответствующего ускорения) – направлению движения.

Домножим всё на малое приращение времени:    $\Delta t \to 0 ,$    в течение которого скорость и ускорение можно считать неизменными:

$a \Delta t = -\frac{k}{m}v\Delta t \ ;$

$\Delta v = -\frac{k}{m}\Delta s \ ;$

Раз любое малое приращение скорости в воде пропорционально соответствующему приращению пути, то и всё изменение скорости пропорционально всему подводному пути. При этом при упругом ударе скорость не меняется по модулю, а меняет лишь направление, при этом направление вектора скорости относительно (!) направления траектории, очевидно, остаётся неизменно сонаправленным. Так что всё движение в воде можно рассматривать, как движение на дистанцию    $\frac{3}{2} L \ \ :$

$v_o - 0 = -\frac{k}{m} ( 0 - \frac{3}{2} L ) \ ;$

$v_o = \frac{3k}{2m} L \ ;$

С другой стороны, с точки зрения кинематики равноускоренного движения в воздухе: изменение квадрата скорости равно удвоенному произведению пути и ускорения:

$v_o^2 - 0 = 2gH \ ;$

$v_o^2 = 2gH = ( \frac{3k}{2m} L )^2 \ ;$

$H = \frac{9}{8g} ( \frac{kL}{m} )^2 \ ;$    это ответ.

Answer 3

Для решения данной задачи можно использовать законы сохранения энергии. Рассмотрим два этапа движения тела: свободное падение и движение в воде.

1. Свободное падение: При свободном падении тело приобретает кинетическую энергию, равную потерянной потенциальной энергии. Потенциальная энергия тела в начальный момент равна E₁ = m * g * H, где m - масса тела, g - ускорение свободного падения, H - высота, с которой падало тело. Кинетическая энергия тела в начальный момент равна нулю.

2. Движение в воде: После удара о дно тело останавливается на половине глубины, то есть его положение равновесия будет на глубине L/2. На этой глубине потенциальная энергия тела будет равна нулю, так как оно не имеет высоты относительно поверхности воды. Кинетическая энергия тела также будет равна нулю, так как оно останавливается.

Теперь рассмотрим силы, действующие на тело во время его движения в воде. Сила тяжести m * g направлена вниз. Сила сопротивления движению в воде F = -k * V направлена противоположно направлению скорости V. Сила сопротивления движению в воздухе и изменение скорости при ударе о воду пренебрежим.

Закон сохранения энергии для движения в воде: Потенциальная энергия + Кинетическая энергия + Работа силы сопротивления = 0

Так как потенциальная энергия и кинетическая энергия равны нулю, остается только работа силы сопротивления:

• Работа силы сопротивления = -∫(F * dx), где dx - перемещение тела.

Поскольку сила сопротивления F = -k * V и dx = -dz (так как тело движется вверх), мы можем записать:

• Работа силы сопротивления = ∫(k * V * dz).

Таким образом, работа силы сопротивления можно записать как:

• Работа силы сопротивления =