Question

Угловая скорость вращения диска радиуса R =50 см изменяется по закону ω=ω0-At+Bt3, где ω0=5 рад/с, А=1 рад/с2, В=0,1 рад/с4. Чему будет равен угол между векторами полного и тангенциального ускорения точек, находящихся на ободе диска, через 2 секунды после начала вращения?

Answer 1

R = 0.5 м
ω(t) = 5 - t + 0.1 t³
α = ∠(a(τ),a(n)) - ?

угол между векторами тангенциального и нормального ускорений можно определить через тангенс в прямоугольном треугольнике:

tgα = a(n)/a(τ)

a(n) = ω² R
ω(2) = 5 - 2 + 0.1*8 = 3.8 рад/c²
a(n) = 3.8²*0.5 = 7.22 м/c²

a(τ) = ε R
ε = dω/dt = -1 + 0.3 t²
ε(2) = -1 + 0.3*4 = 0.2 рад/c²
a(τ) = 0.2*0.5 = 0.1 м/c²

tgα = 7.22/0.1 = 72.2
α = arctg(72.2)

Answer 2

Чтобы найти угол между векторами полного и тангенциального ускорения точек на ободе диска, мы можем воспользоваться следующей формулой:

θ = arctan(a_t / a_r),

где θ - искомый угол, a_t - тангенциальное ускорение, a_r - радиальное (центростремительное) ускорение.

Для начала, найдем тангенциальное ускорение a_t. Тангенциальное ускорение можно определить как произведение углового ускорения ω на радиус R:

a_t = ω * R.

Для данной задачи, угловое ускорение ω изменяется по закону ω = ω0 - At + Bt^3.

Тогда, угловое ускорение через 2 секунды будет равно:

ω(2) = ω0 - A2 + B2^3.

Подставляя значения ω0, A и B, получаем:

ω(2) = 5 - 12 + 0.12^3 = 5 - 2 + 0.1*8 = 5 - 2 + 0.8 = 3.8 рад/с.

Теперь можем найти тангенциальное ускорение a_t:

a_t = ω(2) * R = 3.8 * 0.5 = 1.9 м/с^2.

Далее, для нахождения радиального ускорения a_r, нам понадобится использовать производную угловой скорости по времени:

a_r = dω/dt = -A + 3Bt^2.

Подставляя значения A и B, получаем:

a_r = -1 + 30.12^2 = -1 + 30.14 = -1 + 3*0.4 = -1 + 1.2 = 0.2 рад/с^2.

Теперь, мы можем найти искомый угол θ:

θ = arctan(a_t / a_r) = arctan(1.9 / 0.2).

Используя калькулятор или математическое ПО, получаем:

θ ≈ arctan(9.5) ≈ 1.46 радиан.

Таким образом, угол между векторами полного и тангенциального ускорения точек, находящихся на ободе диска, через 2 секунды после начала вращения составляет примерно 1.46 радиан.