Question

Найти угол между прямыми (x-1)/2 = (y+2)/-1 = z/-2 и (x+1)/1 = (y+11)/2 = (z+6)/1 и выяснить расположение прямых

Answer 1

Две прямые лежат в одной плоскости, если смешанное произведение их направляющих векторов и третьего вектора, проведённого между двумя точками, лежащими на этих прямых, равно 0 . (При равенстве нулю смешанного произведения делаем вывод о компланарности трёх векторов.)
Из уравнения прямых можно выписать координаты направляющих векторов и координаты точек, лежащих на прямых .

$l_1:\; \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{-2}\; \; ,\; \; \vec{s}_1=(2,-1,-2)\; ,\; \; M_1(1,-2,0) \\\\l_2:\; \frac{x+1}{1}=\frac{y+11}{2}=\frac{z+6}{1}\; \; ,\; \; \vec{s}_2=(1,2,1 )\; \; ,\; \; M_2(-1,-11,-6)\\\\\overline {M_2M_1}=(1+1,-2+11,0+6)=(2,9,6)\\\\(\overline {M_2M_1},\vec{s}_1,\vec{s}_2)= \left|\begin{array}{ccc}2&9&6\\2&-1&-2\\1&2&1\end{array}\right|= 2(-1+2)-9(2+2)+6(4+1)=0$

Прямые лежат в одной плоскости.
Найдём угол между прямыми.

$cos\varphi = \frac{\vec{s}_1\cdot \vec{s}_2}{|\vec{s}_1|\cdot |\vec{s}_2|} = \frac{2\cdot 1-1\cdot 2-2\cdot 1}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}\cdot \sqrt{1^2+2^2+1^2}} = \frac{-2}{3\sqrt6} =- \frac{\sqrt2}{3 \sqrt3} =-\frac{\sqrt6}{9} \\\\\varphi =arccos(-\frac{\sqrt6}{9})=\pi -arccos \frac{\sqrt6}{9}$