Question

Векторы a,b образуют угол фи=пи/6; зная, что |a|=корень из 3, |b|=1, вычислить угол альфа между векторами p=a+b и q=a-b.

Answer 1

$\vec{p}\cdot\vec{q}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})= \\ \\ = \vec{a}\cdot\vec{a}+ \vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}- \vec{b}\cdot\vec{b}= \\ \\ = |\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot cos0+ |\vec{b}|\cdot|\vec{a}|\cdot cos \frac{ \pi }{6} - |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos \frac{ \pi }{6} - |\vec{b}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos0$

$= \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 +1\cdot \sqrt{3} \cdot \frac{ \sqrt{3} }{2} - \sqrt{3} \cdot1\cdot \frac{ \sqrt{3}}{2} - 1\cdot1\cdot 1=2$

$\vec{p}\cdot \vec{p}= |\vec{p}|\cdot|\vec{p}|cos0 \Rightarrow |\vec{p}|^2=\vec{p}\cdot \vec{p}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})= \\ \\ =\vec{a}\cdot\vec{a}+ \vec{b}\cdot\vec{a}+\vec{a}\cdot\vec{b}+ \vec{b}\cdot\vec{b}= \\ \\ = |\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot cos0+ 2\cdot |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos \frac{ \pi }{6} + |\vec{b}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos0=$

$=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 +2\cdot \sqrt{3} \cdot1\cdot \frac{ \sqrt{3}}{2} +1\cdot1\cdot 1=7 \\ \\ |\vec{p}|= \sqrt{7}$

Аналогично,

$\vec{q}\cdot \vec{q}= |\vec{q}|\cdot|\vec{q}|cos0 \Rightarrow |\vec{q}|^2=\vec{q}\cdot \vec{q}=(\vec{a}-\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})= \\ \\ =\vec{a}\cdot\vec{a}- \vec{b}\cdot\vec{a}-\vec{a}\cdot\vec{b}+ \vec{b}\cdot\vec{b}= \\ \\ = |\vec{a}|\cdot|\vec{a}|\cdot cos0- 2\cdot |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos \frac{ \pi }{6} + |\vec{b}|\cdot|\vec{b}|\cdot cos0=$

$=\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1 -2\cdot \sqrt{3} \cdot1\cdot \frac{ \sqrt{3}}{2} +1\cdot1\cdot 1=1 \\ \\ |\vec{p}|= \sqrt{1}=1$

$\vec{p}\cdot \vec{q}= |\vec{p}|\cdot|\vec{q}|cos \alpha \Rightarrow cos \alpha = \frac{\vec{p}\cdot \vec{q}}{ |\vec{p}|\cdot|\vec{q}|} = \frac{2}{ \sqrt{7} } \\ \\ \alpha =arccos\frac{2}{ \sqrt{7} }$