Question

Напишите формулу деления многочлена P(x) на многочлен Q(x)?? 1)P(x)=x2+3x+4 Q(x) =x-2 3)P(x)=6x3+3x2-4x+3 Q(x)=2x+1 4) Р(х)=2х3-3х2+2х-2 Q(x)=x2+2

Answer 1

1) P(x) = x^2 + 3x + 4; Q(x) = x - 2
P(x) = x^2 - 4x + 4 + 4x - 4 + 3x + 4 = (x-2)^2 + 7x = (x-2)^2 + 7(x-2) + 14 =
= (x - 2)*(x - 2 + 7) + 14 = (x - 2)(x + 5) + 14

3) P(x) = 6x^3 + 3x^2 - 4x + 3; Q(x) = 2x + 1
P(x) = 6/8*(8x^3 + 3*4x^2 + 3*2x + 1) - 6/8*12x^2 - 6/8*6x - 6/8 + 3x^2 - 4x + 3
= 3/4*(2x+1)^3 - 9x^2 - 9/2*x - 3/4 + 3x^2 - 4x + 3 =
= 3/4*(2x+1)^3 - 6x^2 - 17/2*x + 9/4 =
= 3/4*(2x+1)^3 - 3/2*(4x^2 + 4x + 1) + 6x + 3/2 - 17/2*x + 9/4 =
= 3/4*(2x+1)^3 - 3/2*(2x+1)^2 - 5/2*x + 15/4 =
= 3/4*(2x+1)^3 - 3/2*(2x+1)^2 - 5/4*(2x+1) + 5/4 + 15/4 =
= 3/4*(2x+1)^3 - 3/2*(2x+1)^2 - 5/4*(2x+1) + 5 =
= 1/4*(2x + 1)*(2(2x+1)^2 - 6(2x+1) - 5) + 5
Можно упростить во второй скобке.

4) P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2x - 2; Q(x) = x^2 + 2
P(x) = 2(x^3 + 2x) - 4x - 3x^2 + 2x - 2 =
= 2x*(x^2+2) - 3x^2 - 2x - 2 = 2x*(x^2+2) - 3(x^2+2) - 2x - 2 + 6 =
= (x^2 + 2)*(2x - 3) - 2x + 4

Answer 2

Для деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), мы можем использовать алгоритм деления многочленов, также известный как алгоритм синтетического деления или алгоритм Даламбера. Этот алгоритм позволяет нам найти как частное, так и остаток от деления.

Деление многочлена P(x) = x^2 + 3x + 4 на многочлен Q(x) = x - 2:

1. Сначала упорядочим многочлены по степени, начиная с самой высокой степени и заканчивая самой низкой степенью. В данном случае, у нас есть многочлен P(x) = x^2 + 3x + 4 и многочлен Q(x) = x - 2. Оба многочлена уже упорядочены.

2. Проверяем старшие коэффициенты многочленов. В данном случае старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, а старший коэффициент многочлена Q(x) равен 1.

3. Делаем первый шаг деления, разделив старший член многочлена P(x) на старший член многочлена Q(x): 1 / 1 = 1. Это будет первый член в найденном частном.

4. Умножаем многочлен Q(x) на полученный результат (1) и вычитаем его из P(x): (x - 2) * 1 = x - 2. Вычитаем x - 2 из x^2 + 3x + 4 и получаем остаток -x + 6.

5. Теперь у нас есть новый многочлен P(x) = -x + 6 и тот же многочлен Q(x) = x - 2. Повторяем шаги 2-4.

6. Второй шаг деления: (-x) / (x - 2) = -1. Это будет вторым членом в найденном частном.

7. Умножаем многочлен Q(x) на полученный результат (-1): (x - 2) * (-1) = -x + 2. Вычитаем -x + 2 из -x + 6 и получаем остаток 4.

8. Теперь у нас есть новый многочлен P(x) = 4 и многочлен Q(x) = x - 2. Повторяем шаги 2-4.

9. Третий шаг деления: 4 / (x - 2) = 0. Это будет третьим членом в найденном частном.

10. Умножаем многочлен Q(x) на полученный результат (0): (x - 2) * (0) = 0. Вычитаем 0 из 4 и получаем остаток 4.

11. Теперь у нас остался ненулевой остаток (4). В результате деления многочлена P(x) = x^2 + 3x + 4 на многочлен Q(x) = x - 2, частное равно 1 - 1/(x - 2) и остаток равен 4/(x - 2).

Итоговая формула деления многочлена P(x) на многочлен Q(x):

P(x) = (x^2 + 3x + 4) / (x - 2) = 1 - 1/(x - 2) + 4/(x - 2)

Полученное частное: 1 - 1/(x - 2)

Полученный остаток: 4/(x - 2)

Пожалуйста, обратите внимание, что данная формула представляет собой результат деления указанных многочленов и может быть использована для дальнейших вычислений или анализа.