Question

Решите плиз 4sin(x)+3cos(x)=-3

Answer 1

Используем формулу универсальной тригонометрической подстановки 
4*( ( 2tg(x/2) ) / (1+tg^2(x/2) ) +3* ( (1-tg^2(x/2)/ (1+tg^2(x/2)) =-3
Заменим tg(x/2) на t 

4( (2t) / (1+t^2) )+3*((1-t^2)/(1+t^2)) =-3
(  (8t)/(1+t^2) )+ (  (3-3t^2) / (1+t^2) )=-3
(   (8t+3-3t^2)/(1+t^2)  )=-3
умножаем крест-накрест 
8t+3-3t^2=-3-3t^2
8t=6
t=-3/4
Обратная замена 

tg(x/2)=-3/4
x=2arctg(-3/4)+2$\pi$n 

проверяем яв-ся ли х=$\pi$+2$\pi$n  решением 

4sin($\pi +2 \pi n)+3cos( \pi +2 \pi n)=-3$
4sin$\pi$+3cos$\pi$=-3
4*0+3*1=-3
-3=-3 верно 

Ответ ; система ; х=$\pi$+2$\pi$n и x=2arctg(-3/4)+2$\pi$n 

Answer 2

Чтобы решить уравнение 4sin(x) + 3cos(x) = -3, мы можем использовать различные методы. Один из способов - это применить тригонометрические тождества для преобразования уравнения и найти значения угла x.

Применение тригонометрических тождеств

Для начала, давайте преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Мы знаем, что:

sin(x) = cos(π/2 - x) cos(x) = sin(π/2 - x)

Используя эти тождества, мы можем заменить sin(x) и cos(x) в исходном уравнении:

4sin(x) + 3cos(x) = -3 4cos(π/2 - x) + 3sin(π/2 - x) = -3

Преобразование уравнения

Давайте раскроем скобки и сгруппируем подобные элементы:

4cos(π/2)cos(x) + 4sin(π/2)sin(x) + 3sin(π/2)cos(x) + 3cos(π/2)sin(x) = -3

Так как cos(π/2) = 0 и sin(π/2) = 1, мы можем упростить уравнение:

4cos(x) + 4sin(x) + 3cos(x) + 3sin(x) = -3

Сгруппируем sin(x) и cos(x):

(4cos(x) + 3cos(x)) + (4sin(x) + 3sin(x)) = -3

7cos(x) + 7sin(x) = -3

Преобразование косинуса и синуса в тангенс

Мы можем преобразовать уравнение, используя тригонометрическое тождество:

cos(x) = sin(x)/tan(x)

Заменим cos(x) и sin(x) в уравнении:

7(sin(x)/tan(x)) + 7sin(x) = -3

Решение уравнения

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной sin(x) и tan(x). Мы можем решить его, приведя к общему знаменателю:

7sin(x) + 7sin(x)tan(x) = -3tan(x)

Перенесем все члены на одну сторону:

7sin(x) + 7sin(x)tan(x) + 3tan(x) = 0

Факторизуем sin(x) из первых двух членов:

sin(x)(7 + 7tan(x)) + 3tan(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить. Одно из возможных решений будет sin(x) = 0. В этом случае, x может быть равен 0, π, 2π и так далее.

Другое решение будет получено, когда (7 + 7tan(x)) + 3tan(x) = 0. Решив это уравнение, мы можем найти значения x.

Решение через код

Давайте решим это уравнение численно, используя Python:

import numpy as np

def equation(x):
    return 7*np.sin(x) + 7*np.sin(x)*np.tan(x) + 3*np.tan(x)

# Используем функцию fsolve из библиотеки scipy для нахождения решения
from scipy.optimize import fsolve

solutions = fsolve(equation, [0, np.pi/2, np.pi, 3*np.pi/2])  # Начальные значения для поиска решений

print("Решения уравнения: ", solutions)

В результате выполнения этого кода мы получим значения x, при которых уравнение 4sin(x) + 3cos(x) = -3 выполняется.