Question

При каких значениях параметра λ функция f(x,y,z) = x^2+5y^2+λz^2+4xy+8yz является строго выпуклой вниз?

Answer 1

Для каждой переменной по очереди проверяем условие выпуклости вниз. Строгая выпуклость при лямда >0 2й метод: когда вторая производная по каждой переменной больше нуля.

Answer 2

Функция f(x, y, z) является строго выпуклой вниз при любых значениях параметра λ > 0.

Для определения выпуклости функции f(x, y, z) сначала найдем ее гессиан, который представляет собой матрицу вторых частных производных:

H = | fxx fxy fxz | | fxy fyy fyz | | fxz fyz fzz |

Для того чтобы функция была строго выпуклой вниз, необходимо и достаточно, чтобы гессиан был положительно определенным. Это означает, что все угловые миноры гессиана должны быть положительными.

Вычислим первый угловой минор гессиана:

M1 = fxx = 2

Второй угловой минор гессиана:

M2 = | fxx fxy | | fxy fyy |

= | 2 4 | | 4 10 |

Вычислим определитель этой матрицы:

det(M2) = 2*10 - 4*4 = 20 - 16 = 4

Так как определитель положителен, то второй угловой минор также положителен.

Третий угловой минор гессиана:

M3 = | fxx fxy fxz | | fxy fyy fyz | | fxz fyz fzz |

= | 2 4 0 | | 4 10 8 | | 0 8 2λ |

Вычислим определитель этой матрицы:

det(M3) = 2*(10*2λ - 8*8) - 4*(4*2λ - 8*0) + 0*(4*8 - 10*0) = 2*(20λ - 64) - 4*(8λ) + 0 = 40λ - 128 - 32λ = 8λ - 128

Так как λ > 0, то 8λ - 128 > 0, следовательно определитель положителен.

Таким образом, все угловые миноры гессиана положительны, а значит гессиан положительно определенный. Следовательно, функция f(x, y, z) = x^2 + 5y^2 + λz^2 + 4xy + 8yz является строго выпуклой вниз при любых значениях параметра λ > 0.