Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x)=x, g(x)=2+2x-x^2

Answer 1

Делаем графическое решение задачи -  в приложении.
ДАНО
F(x)=x 
G(x) = - x²+2x+2
НАЙТИ
S(F,G)=? - площадь пересечения графиков.
ДУМАЕМ
Площадь - интеграл (первообразная) функции.
РЕШЕНИЕ
Находим точки пересечения графиков - пределы интегрирования.
1)  -x²+2x+2 = x
- (x+1)*(x-2)=0
Корни уравнения - х1 = -1 и х2 = 2 - пределы интегрирования.
2) Площадь фигуры - разность интегралов. Парабола выше - из неё и вычитаем.
S(F,G) = G(x)dx - F(x)dx = (-x²+2x+2)dx - x*dx = -1/3*x³ +1/2*x²+2x
Вычисляем подставив пределы интегрирования.
S(-1) = -1 1/6,   S(2)= 3 1/3
S = 3.333 - (-1.667) = 4.5 - площадь - ОТВЕТ

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(f(x) = x\) и \(g(x) = 2 + 2x - x^2\), нужно найти точки их пересечения и определить границы интегрирования. Площадь под кривыми между этими точками будет искомой площадью.

1. Найти точки пересечения: \[f(x) = g(x)\] \[x = 2 + 2x - x^2\] Переносим все члены в одну сторону и приводим квадратное уравнение к стандартному виду: \[x^2 - 3x + 2 = 0\] Решаем квадратное уравнение. Факторизация или использование квадратного корня приведут к двум корням: \(x = 1\) и \(x = 2\).

2. Определить границы интегрирования: Таким образом, точки пересечения - \(x = 1\) и \(x = 2\) - будут границами интегрирования.

3. Найти площадь между кривыми: Площадь между кривыми можно выразить как разность интегралов: \[S = \int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \,dx\] Где \(a\) и \(b\) - границы интегрирования. В данном случае, \(a = 1\) и \(b = 2\).

Таким образом, выражение для площади будет: \[S = \int_{1}^{2} ((2 + 2x - x^2) - x) \,dx\]

Вычисляем этот интеграл: \[S = \int_{1}^{2} (2 - x^2) \,dx\]

Антипроизводная этой функции: \[F(x) = 2x - \frac{x^3}{3}\]

Теперь вычисляем разность: \[S = F(2) - F(1) = \left(2 \cdot 2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(2 \cdot 1 - \frac{1^3}{3}\right)\]

\[S = \frac{4}{3}\]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиками функций \(f(x) = x\) и \(g(x) = 2 + 2x - x^2\), равна \(\frac{4}{3}\).