Question

В шахматном турнире каждый сыграл с каждым по 1 разу. Победитель выиграл у всех и набрал очков в 5 раз меньше, чем все остальные вместе. Сколько человек участвовало в турнире?

Answer 1

Здесь не указывается  сколько за выигрыш дают очков , если  $1$ , тогда если всего участников $x$  и не было ничьих, то всего игр было сыграно  $\frac{x(x-1)}{2}$ ,      победитель сыграл  $x-1$ , значит 
 $6(x-1) = \frac{(x-1)x}{2} \\ x=12$  

Answer 2

Давайте обозначим количество участников турнира за N. Каждый участник сыграл с каждым другим участником, что означает, что всего было сыграно N(N-1)/2 партий (поскольку каждая партия включает двух участников).

Так как каждая партия имеет одного победителя, у нас есть N(N-1)/2 победителей. По условию задачи победитель выиграл у всех и набрал очков в 5 раз меньше, чем все остальные вместе.

Если общее количество очков всех участников, кроме победителя, равно X, то победитель набрал 5X очков. Таким образом, общее количество очков в турнире можно представить как 5X + X = 6X.

Теперь мы знаем, что общее количество очков в турнире равно сумме очков всех участников. С другой стороны, мы знаем, что каждый участник набрал по N-1 очку (поскольку у него было N-1 соперников). Таким образом, общее количество очков в турнире можно представить как N(N-1).

Уравниваем два выражения для общего количества очков:

\[N(N-1) = 6X.\]

Теперь решим это уравнение:

\[N^2 - N - 6X = 0.\]

У нас есть квадратное уравнение, и мы знаем, что N (количество участников) должно быть положительным целым числом. Решим уравнение:

\[N = \frac{1 + \sqrt{1 + 24X}}{2}.\]

Мы ищем такие значения X и N, чтобы оба были положительными целыми числами. Однако, учитывая, что N(N-1) - это произведение двух последовательных целых чисел, для которых среднее значение равно 6X, мы видим, что 1 + 24X должно быть полным квадратом.

\[1 + 24X = M^2,\]

где M - целое число. Решив это уравнение, мы найдем подходящие значения для X и N.

Итак, это было бы решение этой задачи. Но для конкретных численных значений X и N, нам нужно некоторое значение M, которое делает \(1 + 24X\) полным квадратом. Например, если \(M = 5\), то \(1 + 24X = 25\), что дает X = 1. Тогда N = 6.

Таким образом, в турнире участвовало 6 человек, и каждый из них набрал по 5 очков, за исключением победителя, который набрал 1 очко.