Question

Известно, что натуральное число n делится на 3 и на 4. Найдите все такие возможные n, если известно, что количество всех его делителей (включая 1 и n) равно 22? Если возможных значений несколько, перечислите их в любом порядке через точку с запятой

Answer 1

Делителей, отличных от 1 и n будет 20.
Так как не оговорено, что делители различны, то минимальным это число будет 3·2¹⁹=3·524288=1572864=1·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·3, следующим числом по возрастанию будет
3²·2¹⁸=2359296 и так далее, до 2². В последующих числах 2 или 3 заменяются простым числом.
Если же делители должны быть различными, то число будет равно произведению двадцати простых чисел.
Тогда минимальное число равно
1·2·3·4·5·7·11·13·17·19·23·29·31·37·41·43·47·53·59·61·67=
=31433286204321068223516360

Answer 2

Для решения данной задачи, мы должны найти все натуральные числа n, которые делятся на 3 и на 4, и количество их делителей равно 22.

Чтобы найти все возможные значения n, мы должны разложить 22 на все возможные комбинации двух чисел, таких что их произведение равно 22.

Факторизуем 22: 22 = 2 * 11

Таким образом, у нас есть два варианта:

1. n может быть равно 2^1 * 11^1 = 22. В этом случае, у числа 22 будет 4 делителя: 1, 2, 11 и 22.

2. n может быть равно 2^10 * 11^0 = 1024. В этом случае, у числа 1024 будет 11 делителей: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 и 1024.

Таким образом, возможные значения n, при которых количество делителей равно 22, это 22 и 1024.