Question

Случайным образом выбираются три различные вершины семиугольной призмы. Какова вероятность того, что плоскость, проходящая через эти три вершины, содержит какие-либо точки строго внутри призмы? Ответ округлите до сотых.

Answer 1

Решим задачу в общем случае. Обозначим число сторон в основании призмы за n. Тогда призма имеет n граней и 2n вершин.
Вероятность рассчитывается как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.
Найдем общее число исходов: выбрать 3 вершины из 2n имеющихся можно $C_{2n}^3$ способами.
Найдем число благоприятных исходов как разность общего числа исходов и числа неблагоприятных исходов. Общее число исходов известно, теперь находим число неблагоприятных исходов.
Если все выбранные вершины лежат на боковой грани или на основании, то образовавшееся сечение не будет содержать точек строго внутри призмы. Число способов выбрать три вершины боковой грани равно $n\cdot C_4^3=4n$, так как призма имеет n боковых граней, и в каждой грани расположено 4 вершины. Число способов выбрать три вершины основания равно $2\cdot C_n^3$, так как призма имеет всего два основания и в каждом из этих оснований расположено n вершин.
Получаем общее число неблагоприятных исходов: $4n+2C_n^3$. Тогда число благоприятных исходов равно $C_{2n}^3-(4n+2C_n^3)$.
Находим искомую вероятность:
$P(A)= \dfrac{C_{2n}^3-(4n+2C_n^3)}{C_{2n}^3} =1- \dfrac{4n+2C_n^3}{C_{2n}^3}$
Для семиугольной призмы, то есть для n=7, получаем:
$P(A)= 1- \dfrac{4\cdot7+2C_7^3}{C_{14}^3} =1- \dfrac{28+2\cdot \frac{7\cdot6\cdot5}{1\cdot2\cdot3} }{ \frac{14\cdot13\cdot12}{1\cdot2\cdot3} } = 1- \dfrac{28+7\cdot2\cdot5 }{14\cdot13\cdot2 } = \\\ =1- \dfrac{28+70 }{364 } =1- \dfrac{98 }{364 } =\dfrac{266}{364 }=\dfrac{19}{26} \approx0.73$
Ответ: 0.73

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется некоторое представление о семиугольной призме и вероятности.

Семиугольная призма

Семиугольная призма - это трехмерное геометрическое тело, которое состоит из семи граней: двух шестиугольных оснований и семи прямоугольных боковых граней, соединяющих соответствующие вершины оснований.

Вероятность

Вероятность - это мера, определяющая, насколько вероятно наступление определенного события. Вероятность может быть выражена в виде отношения количества благоприятных исходов к общему количеству исходов.

Решение задачи

Для определения вероятности того, что плоскость, проходящая через случайно выбранные три вершины семиугольной призмы, содержит точки строго внутри призмы, мы можем использовать комбинаторику.

Сначала нам нужно определить общее количество способов выбора трех вершин из семи вершин призмы. Это можно сделать с помощью формулы сочетаний:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае, n = 7 (общее количество вершин призмы) и k = 3 (количество выбираемых вершин).

C(7, 3) = 7! / (3!(7-3)!) = 7! / (3!4!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35

Теперь нам нужно определить количество благоприятных исходов, то есть количество способов выбрать три вершины, через которые проходит плоскость, содержащая точки строго внутри призмы.

Чтобы плоскость, проходящая через три вершины, содержала точки строго внутри призмы, требуется, чтобы эти три вершины не лежали на одной прямой. Если три вершины лежат на одной прямой, то плоскость, проходящая через них, будет содержать точки только на этой прямой, а не внутри призмы.

Количество способов выбрать три вершины, лежащие на одной прямой, равно 0, так как выбрать три вершины из одной прямой невозможно.

Таким образом, количество благоприятных исходов равно общему количеству способов выбрать три вершины минус количество способов выбрать три вершины, лежащие на одной прямой.

Количество способов выбрать три вершины лежащие на одной прямой: 1. Выбираем первую вершину - 7 способов. 2. Выбираем вторую вершину так, чтобы она лежала на той же прямой, что и первая вершина - 1 способ. 3. Выбираем третью вершину так, чтобы она также лежала на той же прямой - 1 способ.

Таким образом, количество способов выбрать три вершины, лежащие на одной прямой, равно 7 * 1 * 1 = 7.

Количество благоприятных исходов = общее количество способов выбора трех вершин - количество способов выбрать три вершины, лежащие на одной прямой = 35 - 7 = 28.

Теперь мы можем определить вероятность того, что плоскость, проходящая через выбранные три вершины, содержит точки строго внутри призмы:

Вероятность = количество благоприятных исходов / общее количество исходов = 28 / 35 ≈ 0.8

Таким образом, округлив ответ до сотых, вероятность того, что плоскость, проходящая через случайно выбранные три вершины семиугольной призмы, содержит точки строго внутри призмы, составляет около 0.8 или 80%.