Question

Постройте график функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3) и определить,при ка ких значениях параметра k прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

Answer 1

Y=(x³+3x²+16x+48)/(x+3)
x³+3x²+16x+48=(x³+3x²)+(16x+48)=x²(x+3)+16(x+3)=(x+3)*(x²+16)
[ (x²+16)*(x+3)] /(x+3)=x²+16, x≠-3

x²+16=kx, x²-kx+16=0
D=k²-4*16=k²-64
D<0, уравнение не имеет решений 
k²-64<0 (метод интервалов)
(k-8)*(k+8)<0
k∈(-8;8)

Answer 2

Построение графика функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3)

Для построения графика функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3), мы можем использовать следующие шаги:

1. Найдите вертикальные асимптоты, если они есть. В данном случае, у функции есть вертикальная асимптота при x = -3, так как знаменатель функции равен нулю при этом значении.

2. Найдите горизонтальные асимптоты, если они есть. Для этого вычислим предел функции при x, стремящемся к плюс или минус бесконечности. В данном случае, у функции нет горизонтальных асимптот.

3. Найдите точки пересечения с осями координат. Для этого приравняйте у к нулю и решите уравнение. В данном случае, у функции нет точек пересечения с осями координат.

4. Найдите точки экстремума, если они есть. Для этого найдите производную функции и приравняйте ее к нулю. Затем проверьте вторую производную, чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом или нет. В данном случае, мы найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

у' = (3x^2 + 6x + 16)/(x + 3)

Приравниваем у' к нулю и решаем уравнение:

(3x^2 + 6x + 16)/(x + 3) = 0

Найденные значения x будут точками экстремума функции.

5. Постройте график, используя полученные данные. Учтите вертикальные асимптоты и точки экстремума.

Примечание: Для более точного построения графика, рекомендуется использовать программное обеспечение для построения графиков или онлайн-калькуляторы.

Определение значений параметра k, при которых прямая y=kx не имеет с графиком общих точек

Чтобы определить значения параметра k, при которых прямая y=kx не имеет с графиком функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3) общих точек, мы можем использовать следующий подход:

1. Предположим, что прямая y=kx не имеет с графиком функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3) общих точек. Это означает, что уравнение функции и уравнение прямой не имеют общих решений.

2. Запишем уравнение функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3) в виде уравнения вида y=f(x).

3. Запишем уравнение прямой y=kx в виде уравнения вида y=g(x).

4. Приравняем уравнения функции и прямой и решим полученное уравнение относительно x.

5. Найденные значения x будут значениями, при которых прямая y=kx не имеет с графиком функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3) общих точек.

Примечание: Для решения уравнения, возможно, потребуется использовать численные методы или программное обеспечение для символьных вычислений.

Пример построения графика и определения значений параметра k

Для наглядности, давайте рассмотрим пример построения графика функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3) и определения значений параметра k, при которых прямая y=kx не имеет с графиком общих точек.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Определение функции
def f(x):
    return (x3 + 3*x2 + 16*x + 48) / (x + 3)

# Определение прямой y=kx
def g(x, k):
    return k * x

# Задание диапазона значений x
x = np.linspace(-10, 10, 100)

# Построение графика функции
plt.plot(x, f(x), label='y=(x^3+3x^2+16x+48)/(x+3)')

# Проверка значений параметра k
k_values = [-2, 0, 2]
for k in k_values:
    plt.plot(x, g(x, k), label=f'y={k}x')

# Добавление легенды и заголовка
plt.legend()
plt.title('График функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3) и прямых y=kx')

# Отображение графика
plt.show()

В результате выполнения данного кода, мы получим график функции у=(х^3+3x^2+16x+48)/(x+3) и несколько прямых y=kx с разными значениями параметра k. Мы можем наблюдать, при каких значениях параметра k прямая y=kx не имеет с графиком функции общих точек.

Примечание: В данном примере использован язык программирования Python и библиотека Matplotlib для построения графика.