Question

Докажите что при n любом n€N Число 7^2n+1 +2^4n+1 делится на 11

Answer 1

 7^(2n+1) + 2^(4n+1) = 7·49^n + 2·16^n = 7·(44+5)^n + 2·(11+5)^n =
   = 44Q + 7·5^n +11P +2·5^n  = 11R + 9. 5^n  не  делится на 11;
         был  бы  2^(4n+2)  в  итоге  получили  бы  11R +7·5^n+4·5^n = 
                      =11R +11·5^n = 11V        Q;R;P;V ∈ Z

Answer 2

Для начала, мы можем воспользоваться свойствами деления для доказательства данного утверждения. Давайте разберёмся с этим.

Доказательство

Для того чтобы доказать, что \(7^{2n+1} + 2^{4n+1}\) делится на 11, давайте воспользуемся методом математической индукции.

# База индукции

Для \(n = 1\): \(7^{2*1+1} + 2^{4*1+1} = 7^3 + 2^5 = 343 + 32 = 375\)

Так как \(375\) делится на \(11\) без остатка, база индукции верна.

# Предположение индукции

Предположим, что для некоторого \(k \in \mathbb{N}\) утверждение верно, т.е. \(7^{2k+1} + 2^{4k+1}\) делится на \(11\).

# Индукционный переход

Докажем, что утверждение верно и для \(k+1\).

Рассмотрим выражение для \(k+1\): \(7^{2(k+1)+1} + 2^{4(k+1)+1} = 7^{2k+3} + 2^{4k+5}\)

Мы можем представить \(7^{2k+3}\) как \(7^2 * 7^{2k+1}\) и \(2^{4k+5}\) как \(2^4 * 2^{4k+1}\).

Теперь мы можем переписать выражение следующим образом: \(7^{2k+3} + 2^{4k+5} = (49 * 7^{2k+1}) + (16 * 2^{4k+1})\)

Теперь давайте воспользуемся предположением индукции: \(7^{2k+1} + 2^{4k+1}\) делится на \(11\), поэтому мы можем заменить \(7^{2k+1}\) на \(11m\) и \(2^{4k+1}\) на \(11n\) для некоторых целых чисел \(m\) и \(n\).

Таким образом, выражение примет вид: \(49 * 11m + 16 * 11n = 11 * (49m + 16n)\)

Таким образом, \(7^{2(k+1)+1} + 2^{4(k+1)+1}\) делится на 11.

Таким образом, мы доказали, что при \(n\) любом \(n \in \mathbb{N}\) число \(7^{2n+1} + 2^{4n+1}\) делится на 11.