Question

Y’+y=e^(-2x)+x решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Посмотрите предложенное решение. Проверка не проводилась.

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение имеет вид y’ + y = e^(-2x) + x.

Для решения этого уравнения мы можем использовать метод вариации произвольной постоянной.

1. Сначала решим соответствующее однородное уравнение, которое получается приравнивании правой части к нулю: y’ + y = 0 Для решения этого уравнения найдем характеристическое уравнение: r + 1 = 0 r = -1 Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид: y_h = C * e^(-x), где C - произвольная постоянная.

2. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Возьмем в качестве предположения для y_p (частного решения) функцию вида Ax + B, где A и B - некоторые константы.

Подставим предположенное решение в исходное уравнение: (A - 2A - B) + (Ax + B) = e^(-2x) + x

Раскроем скобки и сгруппируем одинаковые слагаемые: -A + B + Ax + B = e^(-2x) + x

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x и решим получившуюся систему уравнений: -A + B = 0 (коэффициент при x) A + B = x (коэффициент при свободном члене)

Решая эту систему, получим: A = -1/2 B = 1/2

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид: y_p = (-1/2)x + 1/2

3. Общее решение неоднородного уравнения можно записать как сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: y = y_h + y_p = C * e^(-x) + (-1/2)x + 1/2, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, решением данного дифференциального уравнения является функция y = C * e^(-x) + (-1/2)x + 1/2, где C - произвольная постоянная.