Question

Вычислить интеграл (если он сходится ). Интеграл от 1 до +бесконечности xdx /x^2+3x-4

Answer 1

Интеграл невозможно вычислить, так как он расходится

Answer 2

Чтобы вычислить этот интеграл, сначала разложим дробь на простые слагаемые:

1/(x^2 + 3x - 4) = 1/((x + 4)(x - 1))

Теперь проведем частное интегрирование:

∫(1/(x^2 + 3x - 4))dx = ∫(1/((x + 4)(x - 1)))dx

Используем метод частичных дробей для разложения этой дроби:

1/((x + 4)(x - 1)) = A/(x + 4) + B/(x - 1)

Умножим обе части уравнения на (x + 4)(x - 1):

1 = A(x - 1) + B(x + 4)

Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

1 = (A + B)x + (4A - B)

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

A + B = 0 (коэффициент при x^1) 4A - B = 1 (коэффициент при x^0)

Из первого уравнения получаем, что B = -A. Подставим это во второе уравнение:

4A - (-A) = 1 5A = 1 A = 1/5

Теперь найдем B:

B = -A = -(1/5) = -1/5

Таким образом, разложение на простые слагаемые имеет вид:

1/(x^2 + 3x - 4) = (1/5)/(x + 4) - (1/5)/(x - 1)

Теперь вычислим интеграл:

∫(1/(x^2 + 3x - 4))dx = (1/5)∫(1/(x + 4))dx - (1/5)∫(1/(x - 1))dx

∫(1/(x + 4))dx = ln|x + 4| + C1 ∫(1/(x - 1))dx = ln|x - 1| + C2

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, окончательно:

∫(1/(x^2 + 3x - 4))dx = (1/5)ln|x + 4| - (1/5)ln|x - 1| + C

где C - произвольная постоянная.