Question

Найти площадь ограниченной линиями a=-2, b=1, f(x)=x^2+1

Answer 1

$\int\limits^1_{-2} {(x^2+1)} \, dx = \frac{x^3}{3}+x \Big|^1_{-2}= \frac{1}{3}+1-(- \frac{8}{3}-2 )= \frac{4}{3} + \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции \( f(x) \) и линиями \( x = a \) и \( x = b \), нужно вычислить определенный интеграл функции \( f(x) \) на интервале от \( a \) до \( b \) и взять модуль результата.

В данном случае у нас есть функция \( f(x) = x^2 + 1 \) и интервал от \( a = -2 \) до \( b = 1 \).

Площадь \( S \) вычисляется следующим образом:

\[ S = \int_{-2}^{1} |f(x)| \,dx \]

Подставим функцию \( f(x) \):

\[ S = \int_{-2}^{1} |x^2 + 1| \,dx \]

Теперь разберемся с выражением \( |x^2 + 1| \). Если \( x^2 + 1 \) положительно на интервале от \( -2 \) до \( 1 \), то \( |x^2 + 1| = x^2 + 1 \), иначе \( |x^2 + 1| = -(x^2 + 1) \). Рассмотрим оба случая:

1. Если \( x^2 + 1 \) положительно на интервале от \( -2 \) до \( 1 \):

\[ S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 1) \,dx \]

2. Если \( x^2 + 1 \) отрицательно на интервале от \( -2 \) до \( 1 \):

\[ S = \int_{-2}^{1} -(x^2 + 1) \,dx \]

Теперь вычислим каждый из этих интегралов.

1. Для первого случая:

\[ S_1 = \int_{-2}^{1} (x^2 + 1) \,dx \]

\[ S_1 = \frac{1}{3}x^3 + x \Big|_{-2}^{1} \]

\[ S_1 = \left(\frac{1}{3}(1)^3 + 1\right) - \left(\frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)\right) \]

\[ S_1 = \frac{4}{3} \]

2. Для второго случая:

\[ S_2 = \int_{-2}^{1} -(x^2 + 1) \,dx \]

\[ S_2 = -\frac{1}{3}x^3 - x \Big|_{-2}^{1} \]

\[ S_2 = -\left(\frac{1}{3}(1)^3 + 1\right) + \left(\frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)\right) \]

\[ S_2 = -\frac{4}{3} \]

Таким образом, площадь фигуры ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 + 1 \) и линиями \( x = -2 \) и \( x = 1 \) равна \( \frac{4}{3} \) (при положительном значении \( x^2 + 1 \)) или \( -\frac{4}{3} \) (при отрицательном значении \( x^2 + 1 \)). В данном случае, так как \( x^2 + 1 \) положительно на всем интервале, площадь равна \( \frac{4}{3} \).