Question

Длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4. Периметр многоугольника равен 75, а наибольшая сторона равна 23. Сколько сторон имеет данный многоугольник?

Answer 1

Наибольшая сторона 23, значит следующая 23-4=19.
Аналогично 19-4=15; 15-4=11; 11-4=7.
Проверяем: 23+19+15+11+7=75
Итого: 5 сторон

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства арифметической прогрессии и формулу для нахождения периметра многоугольника.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой разность между любыми двумя последовательными членами постоянна. В данной задаче мы знаем, что длины сторон выпуклого многоугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью 4.

Пусть первая сторона многоугольника равна а, и количество сторон равно n. Тогда вторая сторона будет равна a + 4, третья сторона будет равна a + 8, и так далее.

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон. В данной задаче периметр равен 75. Наибольшая сторона многоугольника равна 23.

Нахождение количества сторон многоугольника:

Поскольку наибольшая сторона многоугольника равна 23, мы можем записать уравнение:

a + (n-1) * 4 = 23

где a - первая сторона многоугольника, n - количество сторон многоугольника.

Также, сумма всех сторон многоугольника равна периметру:

n * (a + (a + 4(n-1))) / 2 = 75

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными (a и n). Решим ее:

1) Подставим выражение для a из первого уравнения во второе уравнение:

n * (a + (a + 4(n-1))) / 2 = 75

n * (2a + 4n - 4) / 2 = 75

n * (2a + 4n - 4) = 150

2an + 4n^2 - 4n = 150

2an + 4n^2 - 4n - 150 = 0

2) Разложим левую часть уравнения на множители:

(2n - 6)(a + 25) = 0

3) Теперь у нас есть два варианта:

a + 25 = 0 или 2n - 6 = 0

4) Рассмотрим первый вариант:

a + 25 = 0

a = -25

Поскольку стороны многоугольника не могут быть отрицательными, этот вариант нам не подходит.

5) Рассмотрим второй вариант:

2n - 6 = 0

2n = 6

n = 3

Ответ:

Данный многоугольник имеет 3 стороны.