Question

Пожалуйста срочно помогите, завтра сдавать, не могу понять один пример. Вычислить предел 3х/sin3x, при х стремящейся к 0.

Answer 1

Преобразуем Sin 3x 
ДЕЛИМ и числитель и знаменатель получаем lim = 1

Answer 2

Для вычисления предела функции 3x/sin(3x) при x стремящемся к 0, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя. Правило Лопиталя позволяет вычислить предел отношения двух функций, если оба предела числителя и знаменателя равны бесконечности или нулю (при условии, что производные числителя и знаменателя существуют и ненулевые в окрестности точки предела).

Давайте применим правило Лопиталя к нашему примеру:

lim(x -> 0) (3x/sin(3x))

Мы видим, что числитель и знаменатель стремятся к нулю при x -> 0. Теперь возьмем производные числителя и знаменателя и вычислим предел заново:

lim(x -> 0) (d/dx (3x) / d/dx (sin(3x)))

Производная числителя равна просто 3, а производная знаменателя равна cos(3x) * 3 (используя цепное правило для производной sin(3x)). Теперь мы можем вычислить предел:

lim(x -> 0) (3 / (cos(3x) * 3))

3 и 3 сокращаются, оставляя нам:

lim(x -> 0) (1 / cos(3x))

Теперь, если мы подставим x = 0 в функцию cos(3x), мы получим cos(0) = 1. Поэтому мы можем записать окончательный ответ:

lim(x -> 0) (3x/sin(3x)) = 1 / cos(3x)

Ответ:

Предел функции 3x/sin(3x) при x стремящейся к 0 равен 1 / cos(3x).