Question

Помогите решить. Неопределенный интеграл (3x^2+x+5/x^3+5x) dx

Answer 1

[tex] \int\limits^a_b {(3 x^{2} +x+5/x^3+5x)} \, dx =
=3·x³/3+x²/2-5 /2 ·x^(-2)+5x²/2+C=x³+x²/2-5/(2x²)+5x²/2+C;

Answer 2

Для решения данного неопределенного интеграла, мы можем использовать различные методы интегрирования. Давайте разберемся, как его решить.

Использование метода частных производных

Один из способов решения данного интеграла - это использование метода частных производных. Для этого нам понадобится разложить дробь на простейшие дроби.

Разложение на простейшие дроби

Для разложения дроби на простейшие дроби, нам нужно найти такие коэффициенты A, B и C, чтобы мы могли представить дробь в следующем виде:

frac{3x^2 + x + 5}{x^3 + 5x} = frac{A}{x} + frac{B}{x^2} + frac{C}{x + 5}

Нахождение коэффициентов A, B и C

Чтобы найти коэффициенты A, B и C, мы можем привести дроби в общий знаменатель:

3x^2 + x + 5 = A(x^2 + 5x) + B(x + 5) + C(x^3)

Раскроем скобки и сгруппируем одночлены:

3x^2 + x + 5 = (Ax^2 + 5Ax) + (Bx + 5B) + Cx^3

Теперь сравним коэффициенты при одночленах слева и справа от равенства:

3x^2: A = 3 x: 5A + B = 1 5: 5B = 5 x^3: C = 0

Из второго уравнения мы можем найти значение B, подставив A = 3:

5(3) + B = 1 15 + B = 1 B = -14

Теперь, когда у нас есть значения A и B, мы можем найти значение C, подставив его в уравнение для x^3:

C = 0

Таким образом, мы получили разложение дроби на простейшие дроби:

frac{3x^2 + x + 5}{x^3 + 5x} = frac{3}{x} - frac{14}{x^2} + frac{0}{x + 5}

Интегрирование разложенной дроби

Теперь, когда у нас есть разложение дроби на простейшие дроби, мы можем проинтегрировать каждую дробь отдельно:

int(frac{3}{x} - frac{14}{x^2} + frac{0}{x + 5})dx

Интегрируя каждую дробь, получим:

3*ln|x| + 14/x + C

Таким образом, решение данного неопределенного интеграла:

int(3x^2 + x + 5/x^3 + 5x)dx = 3*ln|x| + 14/x + C

где C - произвольная постоянная.