Question

Если u=x^2*sqrt(y^3+z^4), то значение ее производной du/df в точке A(1,1,1) по направлению к точке B(2,1,2) равно

Answer 1

Находим частные производные функции:
$u` _{x} =2x \sqrt{y ^{3}+z ^{4} } \\ u _{y} `= x^{2} \frac{3y ^{2} }{2 \sqrt{y ^{3} +z ^{4} } } \\ u` _{z} = x^{2} \frac{4z ^{3} }{2 \sqrt{y ^{3}+z ^{4} } }$
Вычислим значения производных в точке А (1;1;1)$u`_{x} (A)= 2 \sqrt{2} \\ u` _{y} (A) = \frac{3}{2 \sqrt{2} } \\ u` _{z} (A)= \frac{4}{ 2\sqrt{2} }$

Найдем координаты вектора АВ (1;0;1) и направляющие косинусы.
$cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ cos \beta =0 \\ cos\gamma= \frac{1}{ \sqrt{2} }$

$u` _{AB}(A) =u` _{x} (A)cos \alpha +u` _{y} (A)cos \beta +u` _{z} (A)cos\gamma= \\ 2 \sqrt{2 \ } \frac{1}{ \sqrt{2} }+ \frac{3}{2 \sqrt{2} }0+ \frac{4}{2 \sqrt{2} } \frac{1}{ \sqrt{2} } =2+1=3$

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится формула для нахождения производной функции по направлению:

du/df = ∇u * f

Где ∇u - градиент функции u, а f - вектор направления.

Сначала найдем градиент функции u:

∇u = <∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z>

где ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z - частные производные функции u по переменным x, y, z соответственно.

Найдем частные производные:

∂u/∂x = 2x*sqrt(y^3+z^4) ∂u/∂y = x^2*(3/2)*y^(1/2)*(y^3+z^4)^(1/2) ∂u/∂z = x^2*(4)*z^3*(y^3+z^4)^(1/2)

Теперь найдем вектор направления f:

f = B - A = <2-1, 1-1, 2-1> = <1, 0, 1>

Теперь вычислим производную du/df:

du/df = ∇u * f = <∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z> * <1, 0, 1> = ∂u/∂x * 1 + ∂u/∂y * 0 + ∂u/∂z * 1 = ∂u/∂x + ∂u/∂z

Теперь подставим значения частных производных и вычислим производную в точке A(1,1,1):

du/df = 2*1*sqrt(1^3+1^4) + 1^2*(3/2)*1^(1/2)*(1^3+1^4)^(1/2) + 1^2*(4)*1^3*(1^3+1^4)^(1/2) = 2*sqrt(2) + (3/2)*(2)*(2) + 4*1*(2) = 2*sqrt(2) + 6 + 8 = 2*sqrt(2) + 14

Таким образом, значение производной du/df в точке A(1,1,1) по направлению к точке B(2,1,2) равно 2*sqrt(2) + 14.