Question

Знайти область визначення y=log_x-1(2-x-x^2)

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Для определения области определения функции y=log_x-1(2-x-x^2) нужно рассмотреть значения, при которых функция определена и имеет смысл. Функция логарифма определена только для положительных значений аргумента, а основание логарифма не может быть равно нулю или единице.

Определение основания логарифма

В данном случае основание логарифма равно x - 1. Следовательно, основание должно быть положительным и не может быть равным 0 или 1. Поэтому, для области определения функции, нужно рассмотреть неравенства:

x - 1 > 0 (основание положительно) x ≠ 0 (основание не равно 0) x ≠ 1 (основание не равно 1)

Определение аргумента логарифма

Аргумент логарифма (2-x-x^2) должен быть положительным, так как логарифм определен только для положительных чисел. Для определения области определения аргумента, нужно решить неравенство:

2-x-x^2 > 0

Решение неравенства

Для решения неравенства 2-x-x^2 > 0, можно воспользоваться графиком функции или применить методы аналитического решения.

Один из способов решения данного неравенства - использовать факторизацию. Факторизуем выражение:

2 - x - x^2 > 0 -(x^2 + x - 2) > 0 -(x + 2)(x - 1) > 0

Получаем два множителя: (x + 2) и (x - 1). Теперь рассмотрим знаки этих множителей на числовой прямой:

-2 1 |--------|--------| - 0 +

На интервале (-бесконечность, -2) оба множителя отрицательны, на интервале (-2, 1) первый множитель положительный, а второй - отрицательный, а на интервале (1, +бесконечность) оба множителя положительны.

Выбор интервалов

Так как у нас есть неравенство строгое (">"), то будем искать интервалы, включающие только положительные значенияДля того чтобы найти область визначення функції \( y = \log_{x-1}(2-x-x^2) \), спочатку потрібно врахувати властивості логарифмічних функцій.

Властивості логарифмічних функцій

Логарифмічна функція \(\log_b{z}\) визначена тільки для додатних значень \(z\) та для \(b\) не рівному 1. Таким чином, для області визначення функції \( y = \log_{x-1}(2-x-x^2) \), ми повинні врахувати, що вираз під логарифмом повинен бути додатним, тобто \(2-x-x^2 > 0\), а також база логарифму \(x-1\) повинна бути більшою за 0 і не дорівнювати 1 (тобто \(x-1 > 0\) і \(x \neq 1\)).

Знаходження області визначення

1. Врахуємо умову, що вираз під логарифмом повинен бути додатним: \[2-x-x^2 > 0\] Цю нерівність можна розв'язати, знаходячи корені квадратного рівняння \(x^2 + x - 2 = 0\) або шляхом аналізу знаків. Розв'язавши нерівність, отримаємо діапазони значень \(x\), для яких вираз \(2-x-x^2\) додатний.

2. Також врахуємо умову, що база логарифму \(x-1\) повинна бути більшою за 0 і не дорівнювати 1: \[x-1 > 0, \quad x \neq 1\] Ця умова визначає діапазони значень \(x\), що задовольняють властивості бази логарифму.

3. Після знаходження діапазонів значень \(x\), які задовольняють обидві умови, можна об'єднати ці діапазони, щоб знайти область визначення функції.

Якщо ви хочете, щоб я допоміг вирішити нерівність \(2-x-x^2 > 0\) та знайти область визначення, будь ласка, дайте мені знати, і я допоможу вам продовжити.