Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y=sinx, x=-π, x=π/2, y=0.

Answer 1

$y=sinx\; ,\; y=0\; ,\; \; x=-\pi \; ,\; x=\frac{\pi }{2}$

В силу симметрии области площадь области равна:

$S=3\cdot \int \limits _0^{ \frac{\pi }{2} }sinx\, dx=-3\cdot cosx\Big |_0^{ \frac{\pi }{2} }=-3\cdot (cos \frac{\pi }{2} -cos0)=\\\\=-3\cdot (0-1)=3$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной кривыми \(y = \sin(x)\), \(x = -\pi\), \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(y = 0\), следует вначале визуализировать данную область на координатной плоскости.

Изначально определим, как выглядит функция \(y = \sin(x)\). График функции \(y = \sin(x)\) для значений \(x\) от \(-\pi\) до \(\frac{\pi}{2}\) выглядит следующим образом:


Теперь обозначим ограничивающие прямые: \(x = -\pi\), \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(y = 0\).

\(x = -\pi\) — вертикальная линия, проходящая через точку \((- \pi, 0)\). \(x = \frac{\pi}{2}\) — вертикальная линия, проходящая через точку \((\frac{\pi}{2}, 0)\). \(y = 0\) — горизонтальная линия, проходящая через ось \(x\).

Теперь мы видим, что фигура ограничена графиком функции \(\sin(x)\) и осями координат в промежутке от \(x = -\pi\) до \(x = \frac{\pi}{2}\), а также между \(y = 0\) и кривой.

Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разбить ее на две части: треугольник и криволинейную фигуру под графиком функции \(\sin(x)\).

1. Треугольник: Он образуется от вертикальной линии \(x = -\pi\) до точки пересечения с графиком функции \(\sin(x)\) при \(x = 0\). Площадь треугольника можно найти по формуле площади прямоугольного треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}\). Основание треугольника: \(0 - (-\pi) = \pi\). Высота треугольника: \(\sin(0) - 0 = 0\). Площадь треугольника: \(S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \pi \times 0 = 0\).

2. Криволинейная фигура: Это область, ограниченная графиком функции \(\sin(x)\), осью \(x\) и вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = \frac{\pi}{2}\). Площадь этой криволинейной фигуры можно найти с помощью определенного интеграла: \[ S_{\text{фигуры}} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx \]

Посчитаем данный интеграл: \[ S_{\text{фигуры}} = \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - (-\cos(0)) = 0 - (-1) = 1 \]

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = \sin(x)\), \(x = -\pi\), \(x = \frac{\pi}{2}\) и \(y = 0\), равна \(1\).