Question

Математическая индукция [11^(n+2)+12^(2n+1)] можем делить нa 133?

Answer 1

Конечно делится. Это тупа по мат индукции доказывается.
Переход для n=k+1 11^(n+3) + 12^(2n+3)=11*11^(n+2)+11*12^(2n+1)+133*12^(2n+1) сумма первых двух слагаемых делится на 133 по предположению индукции 133*12^2n+1 тоже очевидно делится на 133.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133 при n ≥ 0, воспользуемся математической индукцией.

Шаг базы (n = 0): Подставим n = 0 в выражение: 11^(0+2) + 12^(2*0+1) = 11^2 + 12^1 = 121 + 12 = 133. Заметим, что 133 делится на 133 без остатка.

Шаг индукции: Предположим, что выражение 11^(k+2) + 12^(2k+1) делится на 133 для некоторого k ≥ 0, то есть существует целое число m, такое что 11^(k+2) + 12^(2k+1) = 133m.

Теперь докажем, что выражение 11^((k+1)+2) + 12^(2(k+1)+1) делится на 133: 11^((k+1)+2) + 12^(2(k+1)+1) = 11^(k+3) + 12^(2k+3) = (11^2 * 11^k) + (12^2 * 12^k) = (121 * 11^k) + (144 * 12^k).

Заметим, что 121 и 144 делятся на 133 без остатка, так как 121 = 133 - 12 и 144 = 133 + 11. То есть, можно записать 121 * 11^k = 133m1 и 144 * 12^k = 133m2, где m1 и m2 - целые числа.

Тогда, (121 * 11^k) + (144 * 12^k) = 133m1 + 133m2 = 133(m1 + m2).

Таким образом, мы получили выражение, делящееся на 133 без остатка, следовательно, по принципу математической индукции, выражение 11^(n+2) + 12^(2n+1) делится на 133 для всех n ≥ 0.