Question

В одной стране используются квадратные листы бумаги стандартных форматов, кото- рые определяются так: «Лист К0 имеет сторону в 1 метр. Если в квадрат К0 вписать круг, а в него снова вписать квадрат, то этот второй квадрат будет иметь формат К1. Если вписать в К1 круг, а в него снова вписать квадрат, то получим лист формата К2. Аналогично определяются форматы вплоть до К10». Петя побывал в этой стране и купил там синий лист К0 и белые листы К1, К2, ..., К10 (всех по одной штуке). Сможет ли он разрезать белые листы на части, которыми полностью оклеит синий лист (с одной стороны)?

Answer 1

Если в квадрат со стороной a вписать круг, то он будет иметь радиус a/2a/2. Квадрат, вписанный в круг такого радиуса, будет иметь сторону a/2–√a/2, и его площадь равна a2/2a2/2, то есть вдвое меньше площади исходного квадрата. Поэтому сумма площадей белых листов составит 1/2+1/4+⋯+1/210=1−1/210<11/2+1/4+⋯+1/210=1−1/210<1, и покрыть ими синий лист не удастся.

Answer 2

В данной стране используются квадратные листы бумаги стандартных форматов, которые определяются следующим образом: лист К0 имеет сторону в 1 метр. Если в квадрат К0 вписать круг, а в него снова вписать квадрат, то этот второй квадрат будет иметь формат К1. Если вписать в К1 круг, а в него снова вписать квадрат, то получим лист формата К2. Аналогично определяются форматы вплоть до К10.

Петя побывал в этой стране и купил там синий лист К0 и белые листы К1, К2, ..., К10 (всех по одной штуке). Теперь вопрос, сможет ли он разрезать белые листы на части, которыми полностью оклеит синий лист с одной стороны?

Для ответа на этот вопрос, нам необходимо рассмотреть соотношение сторон листов разных форматов. Известно, что соотношение сторон квадратных листов одного формата равно корню из двух (приближенно 1.414). То есть, сторона листа К1 будет примерно в 1.414 раза меньше стороны листа К0, сторона листа К2 будет примерно в 1.414 раза меньше стороны листа К1, и так далее.

Таким образом, чтобы полностью оклеить синий лист К0 с одной стороны, Пете потребуется разрезать белые листы К1, К2, ..., К10 на части, соответствующие соотношению сторон. Например, чтобы оклеить синий лист К0 с белым листом К1, Пете нужно разрезать белый лист К1 на две части, одна из которых будет примерно в 1.414 раза меньше другой.

Таким образом, Петя сможет разрезать белые листы на части, которыми полностью оклеит синий лист с одной стороны.