Question

Докажите {Тригонометрия}

Answer 1

Используем формулы:
[1] 1 - cos 2x = 2 sin^2 x
[2] sin 2x = 2 sin x cos x
[3] sin (2π - x) = -sin x
[4] sin(π - x) = sin x
[5] sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x

sin 2A + sin 2B + sin 2C = ...

Используем формулу приведения [3], вспоминая, что 2A + 2B + 2C = 2π:
... = sin 2A + sin 2B + sin(2π - (2A + 2B)) = sin 2A + sin 2B - sin(2A + 2B) = ...

Раскрываем синус суммы, формула [5]:
... = sin 2A + sin 2B - sin 2A cos 2B - sin 2B cos 2A = sin 2A (1 - cos 2B) + sin 2B (1 - cos 2A) = ...

Повышаем степень [1]:
... = 2 sin 2A sin^2 B + 2 sin 2B sin^2 A = ...

Используем формулу синуса двойного угла [2], выносим общие множители за скобку:
... = 4 sin A cos A sin^2 B + 4 sin^2 A sin B cos B = 4 sin A sin B (sin A cos B + sin B cos A) = ...

Замечаем, что в скобках стоит синус суммы [5]:
... = 4 sin A sin B sin (A + B) = 4 sin A sin B sin(π - C) = ...

Используем формулу приведения [4] и получаем то, что надо:
... = 4 sin A sin B sin C