Question

Докажите что квадрат любого простого числа ,большего 3, при делении на 12 дает остаток 1

Answer 1

Да это легко,так что сам думай...

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, воспользуемся методом математической индукции.

Пусть p - произвольное простое число, большее 3. Известно, что любое простое число, большее 3, можно записать в виде 6k ± 1, где k - некоторое целое число.

1. База индукции: Проверим, что утверждение верно для p = 5, 7 и 11. Для p = 5: 5^2 = 25, при делении на 12 получаем остаток 1. Для p = 7: 7^2 = 49, при делении на 12 получаем остаток 1. Для p = 11: 11^2 = 121, при делении на 12 получаем остаток 1.

2. Предположение индукции: Пусть утверждение верно для произвольного простого числа p > 3, то есть p^2 ≡ 1 (mod 12).

3. Индукционный переход: Докажем, что утверждение верно для произвольного простого числа p = 6k ± 1, где k - некоторое целое число. Рассмотрим два случая:

3.1. Пусть p = 6k + 1. Тогда p^2 = (6k + 1)^2 = 36k^2 + 12k + 1 = 12(3k^2 + k) + 1. Как можно видеть, p^2 при делении на 12 даёт остаток 1.

3.2. Пусть p = 6k - 1. Тогда p^2 = (6k - 1)^2 = 36k^2 - 12k + 1 = 12(3k^2 - k) + 1. Как можно видеть, p^2 при делении на 12 также даёт остаток 1.

Таким образом, по принципу математической индукции,