Question

8.Абсцисса точки перегиба функции f(x) = |x-1| / x^2 равно: варианты ответов: 0,1,2,3

Answer 1

График заданной функции находится в левой и правой четвертях положительной полуплоскости системы координат.
Левая часть в виде гиперболической кривой не имеет перегибов.
В правой же части перегибов 2.
Один определяется модулем в числителе функции это точка х = 1.
Здесь происходит перелом графика.
Левее точки х=1 функция определяется выражением у=(1-х)/х³.
Вторая производная на отрезке х=(0;1] равна:
$\frac{d^2}{dx^2}= \frac{6-2x}{x^4} .$
Знак второй производной определим на этом отрезке в точке х=1/2.
y'' = (6-2*(1/2))/((1/2)⁴) = 5*16 = 80. То есть положительная.
Если значения второй производной  на интервале  положительны, то функция  вогнута на этом интервале.
Правее точки х=1 функция определяется выражением у=(х-1)/х³.
Вторая производная на этом отрезке х>1 равна (2x-6)/x^4.
Знак второй производной определим на этом отрезке в точке х=2.
y'' = (2*2-6))/(2⁴) = -2/16 = -1/8. То есть отрицательная.
Если значения второй производной  на интервале  отрицательны, то функция  выпукла на этом интервале.
Если приравнять вторую производную нулю на интервале x>1, то получим 2х-6 = 0, х=6/2=3. Это вторая точка перегиба.

Answer 2

Для нахождения абсциссы точки перегиба функции f(x) = |x-1| / x^2 нужно найти вторую производную функции и приравнять ее к нулю, чтобы найти x-координату точки перегиба.

Сначала найдем первую производную функции: f'(x) = ((x-1)/|x-1| * x^2 - 2*(|x-1|)) / x^4

Теперь найдем вторую производную: f''(x) = (2*(|x-1|)*(2*x^4 - 3*x^3 + 3*x^2 - 2*x + 1) - 4*((x-1)/|x-1| * x^2 - 2*(|x-1|)) * (4*x^3 - 6*x^2 + 6*x - 2)) / x^6

Приравниваем вторую производную к нулю и решаем уравнение: (2*(|x-1|)*(2*x^4 - 3*x^3 + 3*x^2 - 2*x + 1) - 4*((x-1)/|x-1| * x^2 - 2*(|x-1|)) * (4*x^3 - 6*x^2 + 6*x - 2)) / x^6 = 0

Решив это уравнение, получим значение x, которое будет абсциссой точки перегиба функции. В данном случае ответ будет одним из вариантов: 0, 1, 2, 3.