Question

Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Определить тип кривой и нарисовать её. Найти координаты фокусов. 1) x^2 - 2y^2 - 1 = 0 2) x^2 + y^2 - x - 2y + 16 = 0 3) 8x^2 + y^2/4 - 32 = 0

Answer 1

Для приведения уравнений кривых второго порядка к каноническому виду, начнем с каждого уравнения по отдельности:

1) x^2 - 2y^2 - 1 = 0

Для приведения этого уравнения к каноническому виду, нам нужно выразить x и y в терминах других переменных. Для этого давайте поделим обе стороны на 1 (просто для удобства):

x^2/1 - 2y^2/1 - 1/1 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть разность квадратов:

(x^2 - 1) - 2y^2 = 0

Теперь выразим x^2 - 1:

x^2 - 1 = 2y^2

x^2 = 2y^2 + 1

Теперь у нас есть уравнение в каноническом виде:

x^2 = 2y^2 + 1

Это уравнение представляет собой параболу, так как у x есть только одна степень, и коэффициент при y^2 положителен. Фокусы параболы находятся на оси x, на расстоянии a от начала координат, где a = 1/√2. Следовательно, фокусы находятся в точках (±1/√2, 0).

2) x^2 + y^2 - x - 2y + 16 = 0

Для приведения этого уравнения к каноническому виду, сначала перегруппируем его члены:

x^2 - x + y^2 - 2y + 16 = 0

Теперь давайте завершим квадраты по x и y:

(x^2 - x + 1/4) + (y^2 - 2y + 1) + 16 = 0

Теперь выразим квадраты:

(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 + 16 = 0

Теперь у нас есть уравнение в каноническом виде:

(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = -16

Это уравнение представляет собой пустое множество, так как сумма квадратов не может быть отрицательной. Следовательно, данная кривая не имеет точек.

3) 8x^2 + y^2/4 - 32 = 0

Для приведения этого уравнения к каноническому виду, начнем с разделения переменных:

8x^2 + y^2/4 = 32

Теперь выразим y^2/4:

y^2/4 = 32 - 8x^2

y^2 = 4(32 - 8x^2)

y^2 = 128 - 32x^2

Теперь у нас есть уравнение в каноническом виде:

y^2 = 128 - 32x^2

Это уравнение представляет собой параболу, так как у y есть только одна степень, и коэффициент при x^2 отрицателен. Фокусы находятся на оси y, на расстоянии a от начала координат, где a = √32. Следовательно, фокусы находятся в точках (0, ±√32).

Answer 2

Уравнение 1: x^2 - 2y^2 - 1 = 0

Данное уравнение представляет собой уравнение гиперболы. Чтобы привести его к каноническому виду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Разделим оба члена уравнения на -1:

x^2 - 2y^2 = 1

2. Выделим квадраты и сгруппируем переменные:

(x^2) - (2y^2) = 1

(x^2/1) - (y^2/0.5) = 1

3. Перенесем константу на правую сторону:

(x^2/1) - (y^2/0.5) = 1

(x^2/1) - (y^2/0.5) - 1 = 0

Таким образом, канонический вид уравнения гиперболы будет выглядеть следующим образом:

(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1

где a^2 = 1 и b^2 = 0.5.

Уравнение 2: x^2 + y^2 - x - 2y + 16 = 0

Данное уравнение представляет собой уравнение окружности. Для приведения его к каноническому виду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Перенесем константу на правую сторону:

x^2 + y^2 - x - 2y = -16

2. Запишем коэффициенты при x и y в виде квадратов:

(x^2 - x) + (y^2 - 2y) = -16

(x^2 - x + 1/4) + (y^2 - 2y + 1) = -16 + 1/4 + 1

(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = -16 + 1/4 + 1

(x - 1/2)^2 + (y - 1)^2 = -63/4

Таким образом, канонический вид уравнения окружности будет выглядеть следующим образом:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

где h = 1/2, k = 1 и r^2 = -63/4.

Уравнение 3: 8x^2 + y^2/4 - 32 = 0

Данное уравнение представляет собой уравнение эллипса. Чтобы привести его к каноническому виду, нужно выполнить следующие шаги:

1. Перенесем константу на правую сторону:

8x^2 + y^2/4 = 32

2. Разделим оба члена уравнения на 32:

(8x^2)/32 + (y^2/4)/32 = 1

x^2/4 + y^2/128 = 1

3. Запишем коэффициенты при x и y в виде квадратов:

(x^2/4) + (y^2/128) = 1

(x^2/4) + (y^2/128) - 1 = 0

Таким образом, канонический вид уравнения эллипса будет выглядеть следующим образом:

(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1

где a^2 = 4 и b^2 = 128.

Нахождение координат фокусов

Для гиперболы и эллипса координаты фокусов могут быть найдены с использованием следующих формул:

1. Для гиперболы:

c^2 = a^2 + b^2

где c - расстояние от фокусов до центра гиперболы, a - длина полуоси, b - длина полуоси.

В нашем случае, a^2 = 1 и b^2 = 0.5, поэтому:

c^2 = 1 + 0.5

c^2 = 1.5

c ≈ 1.22

Таким образом, координаты фокусов будут (±c, 0), то есть (±1.22, 0).

2. Для эллипса:

c^2 = a^2 - b^2

где c - расстояние от фокусов до центра эллипса, a - длина полуоси, b - длина полуоси.

В нашем случае, a^2 = 4 и b^2 = 128, поэтому:

c^2 = 4 - 128

c^2 = -124

c ≈ √(-124)

Поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен в действительных числах, это означает, что эллипс не имеет фокусов.

Рисование кривых

Для визуализации данных кривых можно использовать графические инструменты, такие как графические редакторы или программы для построения графиков. На графике можно отобразить оси координат и нарисовать кривые в соответствии с их уравнениями и типами.