Question

По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой. Найти координаты фокусов, вершин и центра. Сделать рисунок. 9x2+5y2+18x–30y+9=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

9x²+5y²+18x–30y+9=0

1. Определение типа кривой.

квадратичная форма

B = 9x² + 5y²

приводим  к каноническому виду

матрица этой квадратичной формы:

9     0

0     5

собственные числа и собственные векторы этой матрицы

(9 - λ)*х₁+ 0y₁ = 0

0x₁ + (5 - λ)y₁ = 0

характеристическое уравнение

λ² - 14λ + 45 = 0  ⇒  λ₁ = 9;   λ₂=5

λ₁ > 0; λ₂ > 0  - это эллипс

теперь надо выделить полные квадраты

для х

9(x²+2x + 1) -9= 9(x+1)²-9

и для у

5(y²-2*3y + 3²) -5*3² = 5(y-3)²-45

и получим

9(x+1)²+5(y-3)² = 45

делим на 45 и получаем каноническое уравнение эллипса

$\displaystyle \frac{(x+1)^2}{(\sqrt{5})^2} +\frac{(y-3)^2}{3^2} =1$

2) координаты фокусов, вершин и центра

центр C(-1; 3)

полуоси

меньшая a = √5;  

большая b= 9

координаты фокусов

F₁(-c;0) и F₂(c;0), где c - половина расстояния между фокусами

$\displaystyle c= \sqrt{b^2-a^2} =\sqrt{9-5} =2$

координаты фокусов F₁(-2;0) и F₂(2;0)

с учетом центра, координаты фокусов равны: F₁(-1;1) и  F₂(-1;5)

вершины

х = -1;   (у-3)²=9 ⇒  у₁ = 0,  у₂ = 6

тогда вершины по оси оу (-1; 0)  (-1; 6)

у= 3;  (х+1)²=5  ⇒ х₁ = -1+√5 ≈1,24; х₂ = -1-√5 ≈ -3,24

и тогда вершины по оси ох  (-1+√5; 3)  (-1-√5; 3)

Answer 2

Дано каноническое уравнение кривой второго порядка:

\[9x^2 + 5y^2 + 18x - 30y + 9 = 0.\]

Чтобы определить тип кривой по данному уравнению, нужно проанализировать коэффициенты \(x^2\) и \(y^2\):

Уравнение кривой: \(Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0\).

По коэффициентам \(x^2\) и \(y^2\): - Коэффициенты \(A\) и \(B\) определены и положительны, а значит, обе переменные \(x\) и \(y\) имеют одинаковые знаки при квадратичных членах. - Также, по коэффициентам, это уравнение представляет эллипс или окружность.

Для начала, давайте приведём уравнение канонического уравнения эллипса:

\[ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1, \]

где \(a\) и \(b\) - это полуоси эллипса, а \((h, k)\) - это центр эллипса.

Для начала приведём уравнение кривой к стандартному виду эллипса:

\[9x^2 + 5y^2 + 18x - 30y + 9 = 0.\]

Распишем уравнение, сгруппировав квадратичные члены и линейные члены по переменным \(x\) и \(y\):

\[9x^2 + 18x + 5y^2 - 30y + 9 = 0.\]

Чтобы привести уравнение к стандартному виду эллипса, сначала выделим полные квадраты:

\[9(x^2 + 2x) + 5(y^2 - 6y) + 9 = 0.\]

Теперь добавим недостающие члены для завершения квадратов:

\[9(x^2 + 2x + 1) + 5(y^2 - 6y + 9) - 9 - 9 \times 1 - 5 \times 9 = 0.\]

\[9(x + 1)^2 + 5(y - 3)^2 - 9 - 9 - 45 = 0.\]

\[9(x + 1)^2 + 5(y - 3)^2 - 63 = 0.\]

Полученное уравнение имеет стандартную форму эллипса, где \(h = -1\), \(k = 3\), \(a^2 = \frac{63}{9}\) и \(b^2 = \frac{63}{5}\).

Теперь можем определить основные параметры эллипса:

1. Центр эллипса: \((-1, 3)\). 2. Длины полуосей: - Полуось \(a = \sqrt{\frac{63}{9}} = \sqrt{7}\). - Полуось \(b = \sqrt{\frac{63}{5}} = 3\sqrt{5}\).

Теперь найдем фокусы эллипса. Для этого воспользуемся формулой для эллипса: \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\).

\[c = \sqrt{7 - 3\sqrt{5}^2} = \sqrt{7 - 45} = \sqrt{-38} = 2i\sqrt{19}.\]

Так как действительной части нет, фокусы будут находиться на мнимой оси на расстоянии \(2\sqrt{19}\) от центра эллипса вдоль оси \(y\) в точках \((-1, 3 + 2i\sqrt{19})\) и \((-1, 3 - 2i\sqrt{19})\).

Теперь нарисуем эскиз этого эллипса с помощью программного обеспечения для визуализации геометрии или графики, чтобы продемонстрировать расположение центра, фокусов и форму эллипса.