Question

Помогите, пожалуйста! Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду. Найти координаты фокусов, сделать чертеж а) x^2-y^2-7=0 б) x^2+y^2-2x+2y-2=0 в) 4x^2+y^2/16=4 г) 5x^2+8xy+5y^2-3=0

Answer 1

Ток 1 х=8 если не ошибаюсь

Answer 2

а) $x^2-y^2-7=0$ можно преобразовать к каноническому виду, используя следующие шаги:

$$\begin{aligned} x^2 - y^2 &= 7 \\ \frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{7} &= 1. \end{aligned}$$

Таким образом, каноническое уравнение имеет вид $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, где $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{7}$. Чтобы найти координаты фокусов, мы можем использовать формулу $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $c$ - расстояние от центра до фокусов. В данном случае $a=\sqrt{7}$ и $b=\sqrt{7}$, поэтому $c=\sqrt{2a^2}=2\sqrt{7}$. Координаты фокусов имеют вид $(\pm c, 0)$, то есть $(2\sqrt{7}, 0)$ и $(-2\sqrt{7}, 0)$.

б) Для уравнения $x^2+y^2-2x+2y-2=0$ нужно сначала преобразовать левую сторону:

$$\begin{aligned} x^2-2x+y^2+2y &= 2 \\ (x-1)^2-1 + (y+1)^2-1 &= 2 \\ (x-1)^2 + (y+1)^2 &= 4. \end{aligned}$$

Таким образом, каноническое уравнение имеет вид $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$, где $(h,k)$ - координаты центра окружности, а $r$ - ее радиус. В данном случае центр находится в точке $(1,-1)$, а радиус равен 2. Координаты фокусов находятся на оси, проходящей через центр окружности и перпендикулярной касательной к окружности в точке $(1,-1)$. Поскольку радиус окружности равен 2, расстояние от центра до фокусов равно $c = \sqrt{3}$, поэтому координаты фокусов равны $(1+\sqrt{3},-1)$ и $(1-\sqrt{3},-1)$.

в) Уравнение $4x^2+y^2/16=4$ можно привести к каноническому виду, деля обе части на 4 и получая

$$\frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{16} = 1.$$

Таким образом, каноническое уравнение имеет вид $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2