Question

Кожна точка прямої пофарбована синiм або червоним кольором. Доведiть, що на такiй прямiй знайдуться три рiзнi точки A, B, C , якi пофарбовано в один колiр та такi, що точка B середина вiдрiзка AC. помогите срочно дам 30 балов

Answer 1

Ответ:

За принципом Дирихле на будь-якій прямій, де кожну точку фарбують синім або червоним, завжди знайдуться три різні точки A, B, C, які мають один і той же колір, і при цьому B є серединою відрізка AC.

Пошаговое объяснение:

Давайте розглянемо такий сценарій. Нехай кожна точка на прямій пофарбована або синім, або червоним кольором. Розглянемо будь-яку точку на цій прямій, назвемо її точкою A.

Тепер розглянемо всі точки, які знаходяться на одній і тій же відстані від точки A. Ці точки утворюють паралельну пряму, що проходить через середину відрізка між точкою A і будь-якою іншою точкою на цій прямій.

Оскільки наша початкова пряма має нескінченну кількість точок, то і паралельна пряма теж має нескінченну кількість точок. Таким чином, на цих двох паралельних прямих ми вже маємо нескінченну кількість точок.

Тепер розглянемо всі точки, які знаходяться на однаковій відстані від точки A, але вже на нашій початковій прямій. Тут також маємо нескінченну кількість точок.

Отже, ми маємо дві паралельні прямі та одну початкову пряму, і всі вони містять нескінченну кількість точок. Згідно принципу Дирихле, якщо розфарбовувати такі точки двома кольорами (синім і червоним), то обов'язково знайдуться три точки A, B і C, які мають один і той же колір і B є серединою відрізка AC.

Answer 2

Для доведення цього твердження розглянемо два випадки: коли всі точки на прямій пофарбовані синім кольором і коли всі точки пофарбовані червоним кольором.

Випадок 1: Всі точки на прямій пофарбовані синім кольором

У цьому випадку, якщо всі точки на прямій пофарбовані синім кольором, то неможливо знайти три різні точки A, B, C, які пофарбовані в один колір і такі, що точка B є серединою відрізка AC. Тому цей випадок не задовольняє умову задачі.

Випадок 2: Всі точки на прямій пофарбовані червоним кольором

У цьому випадку, якщо всі точки на прямій пофарбовані червоним кольором, то можна знайти три різні точки A, B, C, які пофарбовані в один колір і такі, що точка B є серединою відрізка AC.

Доведення: Припустимо, що на прямій знайдуться три різні точки A, B, C, які пофарбовані в один колір і такі, що точка B є серединою відрізка AC. Нехай A і C - червоні точки, а B - синя точка.

За умовою, точка B є серединою відрізка AC. Це означає, що відрізок AB має таку саму довжину, як і відрізок BC.

Також, за умовою, всі точки на прямій пофарбовані червоним кольором. Отже, точки A і C також пофарбовані червоним кольором.

Отже, ми знайшли три різні точки A, B, C, які пофарбовані в один колір (червоний) і такі, що точка B є серединою відрізка AC.

Таким чином, доведено, що на прямій знайдуться три різні точки A, B, C, які пофарбовані в один колір і такі, що точка B є серединою відрізка AC.