Question

Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3+3x^2+12x

Answer 1

Ответ:

Функция f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 12x возрастает на интервале (-∞, -2) и (0, +∞), а убывает на интервале (-2, 0).

Объяснение:

Функция f(x) растет на интервале (-∞, -2), что означает, что значения функции увеличиваются с увеличением x. Функция также увеличивается на интервале (0, +∞). Она уменьшается на интервале (-2, 0), что указывает на то, что значения уменьшаются по мере увеличения x.

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 12x + k, где k - произвольная константа, нужно найти производную данной функции и найти ее корни.

Сначала найдем производную функции: f'(x) = 6x^2 + 6x + 12

Теперь найдем корни производной: 6x^2 + 6x + 12 = 0 x^2 + x + 2 = 0

Дискриминант D = 1 - 4*2 = 1 - 8 = -7

Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что производная не меняет знак на всей числовой прямой.

Таким образом, функция f(x) = 2x^3 + 3x^2 + 12x + k возрастает на всей числовой прямой, поскольку производная положительна на всей области определения функции.

Также можно заметить, что функция является многочленом степени 3, и по свойствам многочленов она возрастает на отрезках, где коэффициенты при старших степенях положительны, и убывает на отрезках, где коэффициенты при старших степенях отрицательны.