Question

Имеются три урны; в первой 3 белых шара и 1 чёрный, во второй - 2 белых шара и 3 чёрных, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Этот шар оказался белым. Найти после опытные (апостериорные) вероятности того, что этот шар вынут из первой, второй, третьей урны.

Answer 1

Ответ:

Из первой урны: 3/4, второй - 2/5, третьей - 3/3

Answer 2

Условие задачи

Имеются три урны: в первой 3 белых шара и 1 черный, во второй - 2 белых шара и 3 черных, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Этот шар оказался белым. Найти после опытные (апостериорные) вероятности того, что этот шар вынут из первой, второй, третьей урны.

Решение

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу Байеса. Формула Байеса позволяет нам вычислить вероятность события A при условии, что произошло событие B, если известны вероятности события A и B, а также условные вероятности события B при условии A и события A при условии B.

В данной задаче, нам известно, что был вынут белый шар. Мы хотим найти вероятности того, что этот шар был вынут из первой, второй или третьей урны.

Обозначим события: - A1: шар был вынут из первой урны - A2: шар был вынут из второй урны - A3: шар был вынут из третьей урны - B: шар оказался белым

Мы хотим найти вероятности P(A1|B), P(A2|B) и P(A3|B).

Используя формулу Байеса, мы можем записать:

P(A1|B) = (P(B|A1) * P(A1)) / P(B)

P(A2|B) = (P(B|A2) * P(A2)) / P(B)

P(A3|B) = (P(B|A3) * P(A3)) / P(B)

Теперь давайте вычислим значения вероятностей.

Вычисление вероятностей

Из условия задачи, мы знаем, что в первой урне 3 белых шара и 1 черный, во второй - 2 белых шара и 3 черных, в третьей - три белых шара.

Таким образом, вероятности P(A1), P(A2) и P(A3) равны:

P(A1) = 1/3 (так как всего 3 урны)

P(A2) = 1/3 (так как всего 3 урны)

P(A3) = 1/3 (так как всего 3 урны)

Теперь нам нужно вычислить условные вероятности P(B|A1), P(B|A2) и P(B|A3).

P(B|A1) - вероятность того, что шар будет белым, если он был вынут из первой урны. В первой урне 3 белых шара и 1 черный, поэтому вероятность вытащить белый шар из первой урны равна 3/4.

P(B|A2) - вероятность того, что шар будет белым, если он был вынут из второй урны. Во второй урне 2 белых шара и 3 черных, поэтому вероятность вытащить белый шар из второй урны равна 2/5.

P(B|A3) - вероятность того, что шар будет белым, если он был вынут из третьей урны. В третьей урне 3 белых шара, поэтому вероятность вытащить белый шар из третьей урны равна 3/3, что равно 1.

Теперь нам нужно вычислить P(B), общую вероятность вытащить белый шар из любой урны.

P(B) = P(B|A1) * P(A1) + P(B|A2) * P(A2) + P(B|A3) * P(A3)

Подставим значения и вычислим:

P(B) = (3/4) * (1/3) + (2/5) * (1/3) + (1) * (1/3)

P(B) = 1/4 + 2/15 + 1/3

P(B) = 15/60 + 8/60 + 20/60

P(B) = 43/60

Теперь, используя формулу Байеса, мы можем вычислить вероятности P(A1|B), P(A2|B) и P(A3|B).

P(A1|B) = (P(B|A1) * P(A1)) / P(B)

P(A2|B) = (P(B|A2) * P(A2)) / P(B)

P(A3|B) = (P(B|A3) * P(A3)) / P(B)

Подставим значения и вычислим:

P(A1|B) = ((3/4) * (1/3)) / (43/60)

P(A2|B) = ((2/5) * (1/3)) / (43/60)

P(A3|B) = ((1) * (1/3)) / (43/60)

Вычислим значения:

P(A1|B) = (3/12) / (43/60)

P(A2|B) = (2/15) / (43/60)

P(A3|B) = (1/3) / (43/60)

Упростим значения:

P(A1|B) = (3/12) * (60/43)

P(A2|B) = (2/15) * (60/43)

P(A3|B) = (1/3) * (60/43)

Вычислим значения:

P(A1|B) = 180/516

P(A2|B) = 120/645

P(A3|B) = 60/129

Таким образом, после проведенного опыта, вероятность того, что белый шар был вынут из первой урны составляет 180/516, из второй урны - 120/645, из третьей урны - 60/129.

Ответ

После проведенного опыта, вероятности того, что белый шар был вынут из первой, второй и третьей урны составляют соответственно 180/516, 120/645 и 60/129.