Question

Имеется 3 урны. В первой из них 5 белых и 6 черных шаров, во второй 4 белых и 3. черных шара, в третьей 5 белых и 3 черных шара. Некто наугад выбирает одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из второй урны.189

Answer 1

1 урне 5 к 6 во 2 урне 4 к 3 в 3 урне 5 к 3

Answer 2

Давайте воспользуемся формулой условной вероятности для решения данной задачи.

Обозначим события:

• A1: шар выбран из первой урны
• A2: шар выбран из второй урны
• A3: шар выбран из третьей урны
• B: выбранный шар белый

Мы хотим найти вероятность P(A2|B), то есть вероятность того, что шар был выбран из второй урны при условии, что он оказался белым.

Из формулы условной вероятности: $P(A2|B) = \frac{P(A2 \cap B)}{P(B)}$

Событие A2 и B независимы, так как выбор шара из урны не влияет на его цвет, поэтому: $P(A2 \cap B) = P(A2) \cdot P(B)$

Теперь найдем вероятность P(B), что шар окажется белым: $P(B) = P(A1) \cdot P(B|A1) + P(A2) \cdot P(B|A2) + P(A3) \cdot P(B|A3)$

Вероятности событий A1, A2 и A3: $P(A1) = \frac{1}{3}$ $P(A2) = \frac{1}{3}$ $P(A3) = \frac{1}{3}$

Вероятности P(B|A1), P(B|A2) и P(B|A3): $P(B|A1) = \frac{5}{11}$ (потому что в первой урне 5 белых из 11 шаров) $P(B|A2) = \frac{4}{7}$ (потому что во второй урне 4 белых из 7 шаров) $P(B|A3) = \frac{5}{8}$ (потому что в третьей урне 5 белых из 8 шаров)

Подставив все значения в формулу для P(B), получаем: $P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{11} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{8}$

Теперь можем найти P(A2|B): $P(A2|B) = \frac{P(A2 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A2) \cdot P(B)}{P(B)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} \div \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{11} + \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{8}\right)$

Решив это уравнение, получаем вероятность P(A2|B) ≈ 0.4082, или около 40.82%.