Question

Найти обьем тела полученного от вращения вокруг Оу фигуры ограниченной линиями: х = 2cost, y = 5sint

Answer 1

Ответ:

80π/3

Пошаговое объяснение:

/////////////////////////////

Answer 2

Для нахождения объема тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями: х = 2cost, y = 5sint, вокруг оси Oy, нужно использовать формулу:

$$V = \pi \int_a^b x^2(t) dt$$

где $x(t)$ - параметрическое уравнение кривой, а $a$ и $b$ - границы параметра $t$.

В данном случае, $x(t) = 2 \cos t$, а $a = 0$, $b = 2 \pi$, так как кривая является замкнутой и описывается за один период.

Подставляя в формулу, получаем:

$$V = \pi \int_0^{2 \pi} (2 \cos t)^2 dt = 4 \pi \int_0^{2 \pi} \cos^2 t dt$$

Для вычисления этого интеграла, можно воспользоваться тригонометрической формулой:

$$\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$$

Тогда:

$$V = 4 \pi \int_0^{2 \pi} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = 2 \pi \int_0^{2 \pi} (1 + \cos 2t) dt = 2 \pi \left( t + \frac{\sin 2t}{2} \right) \bigg|_0^{2 \pi}$$

Подставляя пределы интегрирования, получаем:

$$V = 2 \pi \left( 2 \pi + \frac{\sin 4 \pi}{2} - 0 - \frac{\sin 0}{2} \right) = 4 \pi^2$$

Ответ: объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями: х = 2cost, y = 5sint, вокруг оси Oy, равен $4 \pi^2$.

Если вы хотите увидеть график тела вращения, вы можете посмотреть [онлайн калькулятор](https://allcalc.ru/node/972), который позволяет нарисовать тело вращения для любой функции.